Liniowa metoda wieloetapowa

„Metoda Adamsa” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z metodą podziału głosów, zobacz Metoda najmniejszych dzielników .

Liniowe metody wieloetapowe są wykorzystywane do numerycznego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych . Pod względem koncepcyjnym metoda numeryczna rozpoczyna się od punktu początkowego, a następnie wykonuje krótki krok naprzód w czasie, aby znaleźć następny punkt rozwiązania. Proces jest kontynuowany z kolejnymi krokami w celu zmapowania rozwiązania. Metody jednoetapowe (takie jak metoda Eulera ) odwołują się tylko do jednego poprzedniego punktu i jego pochodnej w celu określenia aktualnej wartości. Metody takie jak Runge-Kutta wykonaj kilka kroków pośrednich (na przykład pół kroku), aby uzyskać metodę wyższego rzędu, ale następnie odrzuć wszystkie poprzednie informacje przed wykonaniem drugiego kroku. Metody wieloetapowe mają na celu zwiększenie wydajności poprzez przechowywanie i wykorzystywanie informacji z poprzednich etapów zamiast ich odrzucania. W konsekwencji metody wieloetapowe odwołują się do kilku poprzednich punktów i wartości pochodnych. W przypadku liniowych metod wieloetapowych stosuje się liniową kombinację poprzednich punktów i wartości pochodnych.

Definicje

Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych przybliżają rozwiązania problemów z wartościami początkowymi postaci

$${\ Displaystyle y '= f (t, y), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$$

${\ Displaystyle y (t)$ są przybliżenia wartości w dyskretnych momentach ${\ displaystyle t_ {i}}: y$ }

$${\ Displaystyle y_ {i} \ około y (t_ {i}) \ quad {\ tekst {gdzie}} \ quad t_ {i} = t_ {0}+ tak,}$$

gdzie $i$$czasu ($ określanym jako ) $jest$ liczbą

$wykorzystują$ informacje z poprzednich do obliczenia następnej wartości. $t_ {i}, y_ {i})}$ szczególności liniowa wieloetapowa wykorzystuje liniową kombinację $t$ fa do obliczenia wartość dla $bieżącego$ kroku. Zatem liniowa metoda wieloetapowa jest metodą postaci

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i y_ {n + s} + a_ {s-1} \ cdot y_ {n + s-1} + a_ {s-2}\cdot y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}\cdot y_{n}\\&\qquad {}=h\cdot \left(b_{s}\cdot f (t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}\cdot f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{ 0}\cdot f(t_{n},y_{n})\right)\\&\Leftrightarrow \sum _{j=0}^{s}a_{j}y_{n+j}=h\sum _{j=0}^{s}b_{j}f(t_{n+j},y_{n+j}),\end{wyrównane}}}$$

za $= 1}$ . Współczynniki ${\ Displaystyle a_ {0}, \ kropka, a_ {s-1}}$ i ${\ Displaystyle b_ {0}, \ kropka, b_ {s} }$ określić metodę. Projektant metody dobiera współczynniki, równoważąc potrzebę uzyskania dobrego przybliżenia do prawdziwego rozwiązania z chęcią uzyskania metody łatwej do zastosowania. Często wiele współczynników wynosi zero, aby uprościć metodę.

Można rozróżnić metody jawne i niejawne . Jeśli ${\ displaystyle b_ {s} = 0}$ , to metoda nazywa się „jawna”, ponieważ formuła może bezpośrednio obliczyć ${\ displaystyle y_ {n + s}}$ . Jeśli ${\ Displaystyle b_ {s} \ neq 0},$ to metoda nazywa się „niejawna”, ponieważ wartość ${\ Displaystyle y_ {n + s}}$ zależy od wartości ${\ Displaystyle f (t_ {n + s}, y_ {n + s})}$ i równanie musi zostać rozwiązane dla ${\ Displaystyle y_ {n + s} }$ . Metody iteracyjne, takie jak metoda Newtona, są często używane do rozwiązywania formuły niejawnej.

Czasami do „przewidywania” wartości używana jest jawna metoda wieloetapowa ${\ displaystyle y_ {n + s}}$ . Ta wartość jest następnie używana w niejawnej formule do „poprawienia” wartości. Wynikiem jest metoda predyktor-korektor .

Przykłady

Rozważmy dla przykładu problem

$${\ Displaystyle y '= f (t, y) = y, \ quad y (0) = 1.}$$

Dokładne rozwiązanie to ${\ Displaystyle y (t) = e ^ {t}}$ .

Jednoetapowy Eulera

Prostą metodą numeryczną jest metoda Eulera:

$${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (t_ {n}, y_ {n}).}$$

Metodę Eulera można postrzegać jako wyraźną metodę wieloetapową dla zdegenerowanego przypadku jednego kroku.

Ta metoda zastosowana z rozmiarem kroku $}$ problemu daje następujące wyniki: $\ displaystyle h = {\ tfrac {1}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {1} & = y_ {0} + hf (t_ {0}, y_ {0}) = 1 + {\ tfrac {1} {2}} \ cdot 1 = 1,5 ,\\y_{2}&=y_{1}+hf(t_{1},y_{1})=1,5+{\tfrac {1}{2}}\cdot 1,5=2,25,\\y_{3 }&=y_{2}+hf(t_{2},y_{2})=2,25+{\tfrac {1}{2}}\cdot 2,25=3,375,\\y_{4}&=y_{3 }+hf(t_{3},y_{3})=3,375+{\tfrac {1}{2}}\cdot 3,375=5,0625.\end{wyrównane}}}$$

Dwuetapowy Adams-Bashforth

Metoda Eulera jest metodą jednoetapową. Prostą metodą wieloetapową jest dwuetapowa metoda Adamsa-Bashfortha

$${\ Displaystyle y_ {n + 2} = y_ {n + 1} + {\ tfrac {3} {2}} hf (t_ {n + 1}, y_ {n + 1}) - {\ tfrac {1} {2}}hf(t_{n},y_{n}).}$$

Ta metoda wymaga dwóch wartości, $y_ {n + 2} }}$ obliczyć następną wartość, ${\ displaystyle y_ {n + 1}}}$$n$ + . Jednak problem z wartością początkową zapewnia tylko jedną wartość, ${\ displaystyle y_ {0} = 1}$ . Jedną z możliwości rozwiązania tego problemu jest użycie metody ${\ displaystyle y_ {1}}$ obliczona metodą Eulera jako druga wartość. Przy takim wyborze metoda Adamsa-Bashfortha daje (w zaokrągleniu do czterech cyfr):

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {2} & = y_ {1} + {\ tfrac {3} {2}} hf (t_ {1}, y_ {1}) - {\ tfrac {1} 2}}hf(t_{0},y_{0})=1,5+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1,5-{\tfrac {1} {2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1=2,375,\\y_{3}&=y_{2}+{\tfrac {3}{2}}hf(t_{2 },y_{2})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{1},y_{1})=2,375+{\tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1 }{2}}\cdot 2.375-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 1.5=3.7812,\\y_{4}&=y_{3}+ {\tfrac {3}{2}}hf(t_{3},y_{3})-{\tfrac {1}{2}}hf(t_{2},y_{2})=3,7812+{\ tfrac {3}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 3.7812-{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot 2.375= 6.0234.\end{wyrównane}}}$$

Dokładnym rozwiązaniem jest ${2}$$ldots}$ więc dwuetapowy Adams – metoda jest dokładniejsza niż metoda Eulera. Dzieje się tak zawsze, jeśli rozmiar kroku jest wystarczająco mały.

Rodziny metod wieloetapowych

Powszechnie stosowane są trzy rodziny liniowych metod wieloetapowych: metody Adamsa-Bashfortha, metody Adamsa-Moultona i wzory różniczkowania wstecznego (BDF).

Metody Adamsa-Bashfortha

Metody Adamsa-Bashfortha są metodami jawnymi. Współczynniki to ${\ Displaystyle a_ {s-1} = -1}$ i ${\ Displaystyle a_ {s-2} = \ cdots = a_ {0} = 0}$ , podczas gdy są $wybierane$ w taki sposób, że metody mają kolejność s jednoznacznie określa metody).

Metody Adamsa-Bashfortha z s = 1, 2, 3, 4, 5 to ( Hairer, Nørsett i Wanner 1993 , §III.1; Butcher 2003 , s. 103):

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {n + 1} & = y_ {n} + hf (t_ {n}, y_ {n}), \ qquad {\ tekst {(To jest metoda Eulera)}} \\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\ frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\lewo({\frac {23 }{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {16}{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{ \frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac { 55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})+ {\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {9}{24}}f(t_{n},y_{n})\ prawo),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\lewo({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4}) -{\frac {2774}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {2616}{720}}f(t_{n+2},y_{n +2})-{\frac {1274}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{n},y_ {n})\prawo).\end{wyrównane}}}$$

Współczynniki można określić w następujący sposób. ${\ displaystyle b_ {j}}$ Użyj interpolacji wielomianowej , aby znaleźć wielomian p stopnia taki, że ${\ displaystyle s-1}$

$${\ Displaystyle p (t_ {n + i}) = f (t_ {n + i},y_{n+i}),\qquad {\text{dla}}i=0,\ldots,s-1.}$$

Wzór Lagrange'a na wydajność interpolacji wielomianowej

$${\ Displaystyle p (t) = \ suma _ {j = 0} ^ {s-1} {\ Frac {(-1) ^ {sj-1} f (t_ {n + j}, y_ {n + j })}{j!(sj-1)!h^{s-1}}}\prod _{i=0 \na szczycie i\neq j}^{s-1}(t-t_{n+i} ).}$$

Wielomian p $ma$ prawej strony równania różniczkowego, rozwiązane, ${\ Displaystyle y '= p (t)}$ . To równanie można rozwiązać dokładnie; rozwiązaniem jest po prostu całka z p . Sugeruje to podjęcie

$${\ Displaystyle y_ {n + s} = y_ {n + s-1} + \ int _ {t_ {n + s-1}} ^ {t_ {n + s}} p (t) \ \ operatorname { d} t.}$$

podstawi się wzór na p . Okazuje się , że współczynniki są podane przez $}}$

$${\ Displaystyle b_ {sj-1} = {\ Frac {(-1) ^ {j}} {j! (sj-1)!}} \ int _ {0} ^ {1} \ prod _ {i = 0 \na szczycie i\neq j}^{s-1}(u+i)\,\mathrm {d} u,\qquad {\text{for}}j=0,\ldots,s-1.}$$

Zastąpienie przez jego interpolanta p $s$ błąd rzędu h ^s i wynika z tego, że metoda Adamsa-Bashfortha rzeczywiście ma ( , § 2.1)

Metody Adamsa-Bashfortha zostały zaprojektowane przez Johna Coucha Adamsa w celu rozwiązania równania różniczkowego modelującego działanie kapilarne dzięki Francisowi Bashforthowi . Bashforth (1883) opublikował swoją teorię i metodę numeryczną Adamsa ( Goldstine 1977 ).

Metody Adamsa-Moultona

Metody Adamsa-Moultona są podobne do metod Adamsa-Bashfortha, ponieważ mają również za ${s-1} = -1}$$a_$ i $styl wyświetlania a_{s-2}=\cdots =a_{0}=0}$ . Ponownie b są dobierane tak, aby uzyskać najwyższy możliwy rząd. Jednak metody Adamsa-Moultona są metodami niejawnymi. Usuwając ograniczenie, które ${\ displaystyle b_ {s} = 0}$ , s -etapowa metoda Adamsa – Moultona może osiągnąć porządek $,$ gdy s -etapowa metoda Adamsa – Bashfortha ma tylko s

Wymieniono metody Adamsa-Moultona z s = 0, 1, 2, 3, 4 ( Hairer, Nørsett i Wanner 1993 , §III.1; Quarteroni, Sacco i Saleri 2000 ), gdzie pierwsze dwie metody to wsteczna metoda Eulera i reguła trapezów odpowiednio:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {n} & = y_ {n-1} + hf (t_ {n}, y_ {n}), \\ y_ {n + 1} i = y_ {n} + {\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+f(t_{n},y_{n})\right),\\y_ {n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {8 }{12}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12}}f(t_{n},y_{n})\prawo),\\ y_{n+3}&=y_{n+2}+h\lewo({\frac {9}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac { 19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})+ {\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\left({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{720}}f(t_{n+3},y_{n+3}) -{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n +1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right).\end{wyrównane}}}$$

Wyprowadzenie metod Adamsa-Moultona jest podobne do metody Adamsa-Bashfortha; jednak $displaystyle t_ {n-1}, \ kropki$ nie tylko punkty , $jak$ , ale także $t_{n}}$ . Współczynniki są podane przez

$${\ Displaystyle b_ {sj} = {\ Frac {(-1) ^ {j}} {j! (sj)!}} \ int _ {0} ^ {1} \ prod _ {i = 0 \ na szczycie ja \neq j}^{s}(u+i-1)\,\mathrm {d} u,\qquad {\text{for}}j=0,\ldots,s.}$$

Metody Adamsa-Moultona wynikają wyłącznie z Johna Coucha Adamsa , podobnie jak metody Adamsa-Bashfortha. Nazwisko Foresta Raya Moultona zostało skojarzone z tymi metodami, ponieważ zdał sobie sprawę, że można je stosować w tandemie z metodami Adamsa-Bashfortha jako parę predyktor-korektor ( Moulton 1926 ); Milne (1926) wpadł na ten sam pomysł. Adams użył metody Newtona do rozwiązania niejawnego równania ( Hairer, Nørsett & Wanner 1993 , §III.1).

Formuły na różniczkowanie wsteczne (BDF)

Główny artykuł: Formuła różniczkowania wstecznego

Metody BDF są metodami niejawnymi z $metoda$ że ( tzw maksymalnie możliwe). Metody te są szczególnie stosowane do rozwiązywania sztywnych równań różniczkowych .

Analiza

Głównymi pojęciami w analizie liniowych metod wieloetapowych, a właściwie każdej metody numerycznej dla równań różniczkowych, są zbieżność, porządek i stabilność .

Spójność i porządek

Pierwsze pytanie dotyczy tego, czy metoda jest spójna: czy równanie różnicowe

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i a_ {s} y_ {n + s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad { }=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+ s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{wyrównane}}}$$

${\ Displaystyle y' = f (t, y)$ fa ? Dokładniej, metoda wieloetapowa jest spójna , jeśli lokalny błąd obcięcia dąży do zera szybciej niż rozmiar kroku h , gdy h dąży do zera, gdzie lokalny błąd obcięcia jest zdefiniowany jako różnica między wynikiem ${\ displaystyle y_ {n+s}}$ metody $zakładając$ że równanie w czasie ${\ displaystyle t_ {n + s}}$ . Obliczenia z wykorzystaniem szeregu Taylora pokazują, że liniowa metoda wieloetapowa jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy

$${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {s-1} a_ {k} = - 1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ suma _ {k = 0} ^ {s} b_ {k }=s+\suma _{k=0}^{s-1}ka_{k}.}$$

Wszystkie wymienione powyżej metody są spójne ( Hairer, Nørsett & Wanner 1993 , §III.2).

Jeśli metoda jest spójna, to następnym pytaniem jest, jak dobrze równanie różniczkowe definiujące metodę numeryczną jest aproksymacją równania różniczkowego. Mówi się $gdy$ wieloetapowa ma rząd p błąd lokalny jest rzędu, h dąży do Jest to równoważne z następującym warunkiem dotyczącym współczynników metod:

$${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {s-1} a_ {k} = - 1 \ quad {\ tekst {i}} \ quad q \ suma _ {k = 0} ^ {s} k ^ {q-1}b_{k}=s^{q}+\suma_{k=0}^{s-1}k^{q}a_{k}{\text{ dla }}q=1, \ldots, s.}$$

Metoda s -etapowa Adamsa – Bashfortha ma porządek s , podczas gdy metoda s -etapowa Adamsa – Moultona ma porządek ${\ displaystyle s + 1}$ ( Hairer, Nørsett i Wanner 1993 , §III.2).

Warunki te są często formułowane przy użyciu charakterystycznych wielomianów

$${\ Displaystyle \ rho (z) = z ^ {s} + \ suma _ {k = 0} ^ {s-1} a_ {k} z ^ {k} \ quad {\ tekst {i}} \ quad \ sigma (z)=\suma _{k=0}^{s}b_{k}z^{k}.}$$

W odniesieniu do tych wielomianów powyższy warunek, aby metoda miała rząd p, staje się

$${\ Displaystyle \ rho (e ^ {h}) -h \ sigma (e ^ {h}) = O (h^{p+1})\quad {\text{as}}h\do 0.}$$

W szczególności metoda jest spójna, jeśli ma co najmniej jeden porządek, co ma miejsce, gdy i ${\ Displaystyle \ rho (1) = 0}$ i ${\ Displaystyle \rho '(1)=\sigma (1)}$ .

Stabilność i konwergencja

Numeryczne rozwiązanie metody jednoetapowej zależy od warunku początkowego ${\ Displaystyle y_ {0}, y_ {1}, \ ldots, y_ {s-1}}$ ale rozwiązanie numeryczne metody s -etapowej zależy od wszystkich s $wartości$ początkowych, . Interesujące jest zatem, czy rozwiązanie numeryczne jest stabilne w odniesieniu do zaburzeń wartości początkowych. Liniowa metoda wieloetapowa jest zero-stabilna dla pewnego równania różniczkowego w zadanym przedziale czasu, jeżeli zaburzenie wartości początkowych wielkości ε powoduje zmianę rozwiązania numerycznego w tym przedziale czasu o nie więcej niż K ε dla pewnej wartości K , która nie zależy od wielkości kroku godz . Nazywa się to „zerową stabilnością” $,$ ponieważ wystarczy sprawdzić warunek dla równania różniczkowego Süli & Mayers 2003 , s. 332

Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego ρ mają moduł mniejszy lub równy 1, a pierwiastki modułu 1 mają krotność 1, mówimy, że warunek pierwiastka jest spełniony. Liniowa metoda wieloetapowa jest zero-stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek pierwiastkowy ( Süli i Mayers 2003 , s. 335).

$, że$ wartości zbieżne do wartości początkowej ${\ displaystyle y_ {0}}$ jako ${\ displaystyle h \ do 0}$ . Następnie rozwiązanie numeryczne zbiega się do dokładnego rozwiązania jako ${\ displaystyle h \ to 0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy metoda jest zero-stabilna. Wynik ten jest znany jako twierdzenie o równoważności Dahlquista , nazwane na cześć Germunda Dahlquista ; twierdzenie to jest podobne w duchu do twierdzenia o równoważności Laxa dla metod różnic skończonych . Ponadto, jeśli metoda ma rząd p , to błąd globalny (różnica między rozwiązaniem numerycznym a rozwiązaniem dokładnym w ustalonym czasie) wynosi ${\ Displaystyle O (h ^ {p})}$ ( Süli & Mayers 2003 , P. 340).

$się$ metoda jest silnie stabilna , jeśli jest jedynym pierwiastkiem modułu 1. Jeśli jest zbieżna i wszystkie pierwiastki modułu 1 nie powtarzają istnieje więcej niż jeden taki korzeń, mówi się, że jest względnie stabilny . Zauważ, że 1 musi być pierwiastkiem, aby metoda była zbieżna; zatem metody zbieżne są zawsze jedną z tych dwóch.

Aby ocenić wydajność liniowych metod wieloetapowych na sztywnych równaniach , rozważ liniowe równanie testowe y' = λ y . Metoda wieloetapowa zastosowana do tego równania różniczkowego o rozmiarze kroku h daje liniową zależność powtarzalności z charakterystycznym wielomianem

$${\ Displaystyle \ pi (z; h \ lambda) = (1-h \ lambda \ beta _ {s}) z ^ {s} + \ suma _ {k = 0} ^ {s-1} (\ alfa _ {k}-h\lambda \beta _{k})z^{k}=\rho (z)-h\lambda \sigma (z).}$$

Wielomian ten nazywany jest wielomianem stabilności metody wieloetapowej. Jeśli wszystkie jego pierwiastki mają moduł mniejszy niż jeden, to rozwiązanie numeryczne metody wieloetapowej będzie zbieżne do zera i mówi się, że metoda wieloetapowa jest absolutnie stabilna dla tej wartości h λ. Mówimy, że metoda jest A-stabilna , jeśli jest absolutnie stabilna dla wszystkich h λ z ujemną częścią rzeczywistą. Obszar absolutnej stabilności to zbiór wszystkich h λ, dla których metoda wieloetapowa jest absolutnie stabilna ( Süli & Mayers 2003 , s. 347 i 348). Aby uzyskać więcej informacji, zobacz sekcję dotyczącą równań sztywnych i metod wieloetapowych .

Przykład

Rozważ trzyetapową metodę Adamsa-Bashfortha

$${\ Displaystyle y_ {n + 3} = y_ {n + 2} + h \ lewo ({23 \ ponad 12} f (t_ {n + 2}, y_ {n + 2}) - {4 \ ponad 3} f(t_{n+1},y_{n+1})+{5 \ponad 12}f(t_{n},y_{n})\prawo).}$$

Jeden charakterystyczny wielomian jest taki

$${\ Displaystyle \ rho (z) = z ^ {3} -z ^ {2} = z ^ {2} (z-1)}$$

który ma korzenie $.$ powyższe warunki Ponieważ $1$ , metoda jest silnie

Innym charakterystycznym wielomianem jest

$${\ Displaystyle \ sigma (z) = {\ Frac {23} {12}} z ^ {2} - {\ Frac {4} {3} }z+{\frac {5}{12}}}$$

Pierwsza i druga bariera Dahlquista

Te dwa wyniki zostały udowodnione przez Germunda Dahlquista i stanowią ważną granicę dla rzędu zbieżności i stabilności A liniowej metody wieloetapowej. Pierwsza bariera Dahlquista została udowodniona w Dahlquist (1956), a druga w Dahlquist (1963) .

Pierwsza bariera Dahlquista

Pierwsza bariera Dahlquista stwierdza, że ​​zerowa i liniowa wieloetapowa metoda q nie może osiągnąć rzędu zbieżności większego niż q + 1, jeśli q jest nieparzyste, i większego niż q + 2, jeśli q jest parzyste. Jeśli metoda jest również jawna, to nie może osiągnąć rzędu większego niż q ( Hairer, Nørsett i Wanner 1993 , Thm III.3.5).

Druga bariera Dahlquista

Druga bariera Dahlquista stwierdza, że ​​żadne jawne liniowe metody wieloetapowe nie są A-stabilne . Ponadto, maksymalny rząd (niejawnej) A-stabilnej liniowej metody wieloetapowej wynosi 2. Spośród A-stabilnych liniowych metod wieloetapowych rzędu 2, reguła trapezoidalna ma najmniejszą stałą błędu (Dahlquist 1963, Thm 2.1 i 2.2 ) .

Zobacz też

• Cyfrowy zysk energetyczny

• Bashforth, Francis (1883), Próba przetestowania teorii działania kapilarnego poprzez porównanie teoretycznych i zmierzonych postaci kropli płynu. Z wyjaśnieniem metody całkowania zastosowanej przy konstruowaniu tablic, które dają teoretyczne formy takich kropel, JC Adams , Cambridge .
•   Butcher, John C. (2003), Metody numeryczne dla zwykłych równań różniczkowych , John Wiley, ISBN 978-0-471-96758-3 .
• Dahlquist, Germund (1956), „Zbieżność i stabilność w numerycznym całkowaniu równań różniczkowych zwyczajnych”, Mathematica Scandinavica , 4 : 33–53, doi : 10,7146/math.scand.a-10454 .
•    Dahlquist, Germund (1963), „Specjalny problem stabilności dla liniowych metod wieloetapowych”, BIT , 3 : 27–43, doi : 10.1007/BF01963532 , ISSN 0006-3835 , S2CID 120241743 .
•   Goldstine, Herman H. (1977), Historia analizy numerycznej od XVI do XIX wieku , Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90277-7 .
•   Włos, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych I: Problemy niesztywne (wyd. 2), Berlin: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .
•   Włos, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych II: Problemy sztywne i różniczkowo-algebraiczne (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5 .
•   Iserles, Arieh (1996), Pierwszy kurs numerycznej analizy równań różniczkowych , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2 .
•   Milne, WE (1926), „Całkowanie numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych”, American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America , 33 (9): 455–460, doi : 10,2307/2299609 , JSTOR 2299609 .
• Moulton, Forest R. (1926), Nowe metody balistyki zewnętrznej , University of Chicago Press .
•   Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2000), Matematica Numerica , Springer Verlag, ISBN 978-88-470-0077-3 .
•   Suli, Endre; Mayers, David (2003), Wprowadzenie do analizy numerycznej , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1 .

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Metoda Adamsa” . MathWorld .