Metoda punktu środkowego

Aby zapoznać się z regułą punktu środkowego w numerycznej kwadraturze , zobacz metodę prostokąta .

${n}).}$ metody punktu środkowego przy założeniu, że $jest$ dokładnej wartości $tak,$ Metoda punktu środkowego oblicza cięciwa jest w przybliżeniu równoległa do stycznej w punkcie środkowym (linia zielona .

W analizie numerycznej , gałęzi matematyki stosowanej , metoda punktu środkowego jest jednoetapową metodą numerycznego rozwiązywania równania różniczkowego ,

${\ Displaystyle y' (t) = f (t, y (t)), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

Wyraźna metoda punktu środkowego jest określona wzorem

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf \ lewo (t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),}$

 

 

 

 

()

niejawna metoda punktu środkowego wg

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf \ lewo (t_ {n}+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}(y_{n}+y_{n+1})\right),}$

 

 

 

 

()

dla ${\ Displaystyle n = 0,1,2, \ kropki}$$jest$ rozmiar kroku - mała liczba dodatnia, ${0} + nh,}$${ \ displaystyle t_ {n} =$$t_$ jest przybliżoną wartością ${\ displaystyle y (t_ {n}).}$ Wyraźna metoda punktu środkowego jest czasami znana również jako zmodyfikowana metoda Eulera , metoda ukryta jest najprostszą metodą kolokacji , a zastosowana do dynamiki hamiltonowskiej jest integratorem symplektycznym . Należy zauważyć, że zmodyfikowana metoda Eulera może odnosić się do metody Heuna , dla większej przejrzystości patrz Lista metod Runge-Kutty .

Nazwa metody pochodzi od faktu, że w powyższym wzorze funkcja $nachylenie$ rozwiązania jest oceniana na ${\ Displaystyle t = t_ {n} + h/2 = {\ tfrac {t_ {n} + t_ {n + 1}} {2}}} punkt środkowy między t n {\ displaystyle t_$ { $}$ w gdzie wartość ${\ Displaystyle y (t)}$$+ 1}$ 1 { \ $.$

Interpretacja geometryczna może zapewnić lepsze intuicyjne zrozumienie metody (patrz rysunek po prawej). $t_{n},y_{n})}$ podstawowej metodzie Eulera styczna krzywej w $punkcie$ obliczana za ${$ . Następna wartość ${\ displaystyle y_ {n + 1}}$ się tam, gdzie styczna przecina linię pionową y ${\ Displaystyle t = t_ {n + 1}}$ . Jeśli $bardziej$ druga pochodna jest tylko dodatnia między $coraz$ ( jak na diagramie), krzywa odwróć się od stycznej, co prowadzi do większych błędów, ponieważ ${\ displaystyle h}$ wzrasta. Diagram pokazuje, że styczna w punkcie środkowym (górny odcinek zielonej linii) najprawdopodobniej dałaby dokładniejsze przybliżenie krzywej w tym przedziale. Jednak ta styczna punktu środkowego nie mogła zostać dokładnie obliczona, ponieważ nie znamy krzywej (to jest to, co należy obliczyć). Zamiast tego ta styczna jest szacowana przy użyciu oryginalnej metody Eulera do oszacowania wartości $) }$$fa$ stycznej za pomocą . $}$ obliczania wartości z $\ displaystyle y_ {n + 1}$ { Ten ostatni krok jest reprezentowany przez czerwoną cięciwę na diagramie. Zwróć uwagę, że czerwona cięciwa $w$ styczna) z powodu błędu w oszacowaniu wartości środkowym.

Lokalny błąd na każdym etapie metody punktu środkowego jest rzędu ${\ Displaystyle O \ lewo (h ^ {3} \ prawej)}$ , dając globalny błąd rzędu ${\ Displaystyle O \left(h^{2}\right)}$ . Tak więc, chociaż metoda jest bardziej wymagająca obliczeniowo niż metoda Eulera, błąd metody punktu środkowego generalnie zmniejsza się szybciej, gdy ${\ displaystyle h \ to 0}$ .

Metody są przykładami klasy metod wyższego rzędu znanych jako metody Runge-Kutty .

Wyprowadzenie metody punktu środkowego

Ilustracja całkowania numerycznego dla równania ${\ Displaystyle y' = y, y (0) = 1.}$ Niebieski: metoda Eulera , zielony: metoda punktu środkowego, czerwony: dokładny rozwiązanie, ${\ Displaystyle y = e ^ {t}.}$ Rozmiar kroku to ${\ displaystyle h = 1,0.}$

Ta sama ilustracja dla ${\ displaystyle h = 0,25.}$ Widać, że metoda punktu środkowego zbiega się szybciej niż metoda Eulera.

Metoda punktu środkowego jest udoskonaleniem metody Eulera

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + hf (t_ {n}, y_ {n}), \,}$

i wywodzi się w podobny sposób. Kluczem do wyprowadzenia metody Eulera jest przybliżona równość

${\ Displaystyle y (t + h) \ około y (t) + hf (t, y (t))}$

 

 

 

 

()

który otrzymuje się ze wzoru na nachylenie

${\ Displaystyle y' (t) \ około {\ Frac {y (t + h) -y (t)} {h}}}$

 

 

 

 

()

i pamiętając, że ${\ Displaystyle y' = f (t, y).}$

W przypadku metod punktu środkowego zastępuje się (3) bardziej dokładną

${\ Displaystyle y '\ lewo (t + {\ Frac {h} {2}} \ prawej) \ około {\ Frac {y (t+h)-y(t)}{h}}}$

gdy zamiast (2) znajdujemy

${\ Displaystyle y (t + h) \ około y (t) + hf \ lewo (t + {\ Frac {h} {2}}, y \ lewo (t + {\ Frac {h} {2}} \ prawo) \Prawidłowy).}$

 

 

 

 

()

Nie można użyć tego równania, aby znaleźć y $y (t + h)}$$Displaystyle$ , ponieważ nie wiadomo ${\ Displaystyle t + h/2}$ . Rozwiązaniem jest zatem użycie w szereg Taylora dokładnie tak, jak przy użyciu metody Eulera do rozwiązania dla ${\ Displaystyle y (t + h/2)}$ :

${\ Displaystyle y \ lewo (t + {\ frac { h}{2}}\right)\około y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t ,y(t)),}$

co po podłączeniu (4) daje nam

${\ Displaystyle y (t + h) \ ok y ( t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

oraz jawna metoda punktu środkowego (1e).

${\ Displaystyle y (t)$$t$ wartości w pół kroku linii od do ${\ Displaystyle y (t + h)}$

${\ Displaystyle y \ lewo (t + {\ Frac {h} {2}} \ prawej) \ około {\ Frac { 1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

a zatem

${\ Displaystyle {\ Frac {y (t + h) -y (t)}} {h}} \ około y '\ lewo (t + {\ Frac {h} {2}} \ prawej) \ około k = f \ left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

${\ Displaystyle y_ {n} + h \, k}$ dla $h)}$ + skutkuje niejawną metodą Runge-Kutta

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} k & = f \ lewo (t_ {n} + {\ Frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{wyrównane }}}$

$zawiera$ niejawną metodę Eulera z rozmiarem kroku .

$Displaystyle$ stopniu błędu lokalnego anulują się, tak że błąd lokalny jest automatycznie uporządkowany ${\ mathcal {O }}(h^{3})}$ . $Zastąpienie$ niejawnej jawną metodą Eulera przy określaniu ponownie jawną metodą punktu środkowego.

Zobacz też

• Metoda prostokąta
• Metoda Heuna
• Integracja Leapfrog i integracja Verlet

Notatki

•   Griffiths, DV; Smith, IM (1991). Metody numeryczne dla inżynierów: podejście programistyczne . Boca Raton: CRC Press. P. 218. ISBN 0-8493-8610-1 .
•   Suli, Endre; Mayers, David (2003), Wprowadzenie do analizy numerycznej , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1 .
•   Ciężar, Richard; Targi, John (2010). Analiza numeryczna . Richarda Strattona. P. 286. ISBN 978-0-538-73351-9 .