Metoda Gaussa-Legendre'a

W analizie numerycznej i obliczeniach naukowych metody Gaussa -Legendre'a to rodzina metod numerycznych dla równań różniczkowych zwyczajnych . Metody Gaussa-Legendre'a są niejawnymi metodami Runge-Kutty . Mówiąc dokładniej, są to metody kolokacji oparte na punktach kwadratury Gaussa-Legendre'a . Metoda Gaussa-Legendre'a oparta na s punktach ma rząd 2 s .

Wszystkie metody Gaussa-Legendre'a są A-stabilne .

Metoda Gaussa-Legendre'a rzędu drugiego to ukryta reguła punktu środkowego . Jego tableau Rzeźnika to:

1/2	1/2
	1

Metoda Gaussa-Legendre'a rzędu czwartego ma obraz Butchera:

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {6}} {\ sqrt {3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {4}} - {\ tfrac {1} {6}} {\ sqrt {3}}}$
${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {6}} {\ sqrt {3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {6}} {\ sqrt {3}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {4}}}$
	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$

Metoda Gaussa-Legendre'a rzędu szóstego ma obraz Butchera:

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {10}} {\ sqrt {15}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {36}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {9}} - {\ tfrac {1} {15}} {\ sqrt {15}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {36}} - {\ tfrac {1} {30}} {\ sqrt {15}}}$
${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {36}} + {\ tfrac {1} {24}} {\ sqrt {15}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {9}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {36}} - {\ tfrac {1} {24}} {\ sqrt {15}}}$
${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {10}} {\ sqrt {15}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {36}} + {\ tfrac {1} {30}} {\ sqrt {15}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {9}} + {\ tfrac {1} {15}} {\ sqrt {15}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {36}}}$
	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {18}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {4} {9}}}$	${\ Displaystyle {\ tfrac {5} {18}}}$

Koszt obliczeniowy metod Gaussa-Legendre'a wyższego rzędu jest zwykle nadmierny, dlatego są one rzadko używane.

Intuicja

Metody Gaussa-Legendre Runge-Kutty (GLRK) rozwiązują równanie różniczkowe zwyczajne ${\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x)}$ z ${\ Displaystyle x (0 )=x_{0}}$ . Cechą wyróżniającą GLRK jest oszacowanie ${\ Displaystyle x (h) -x_ {0} = \ int _ {0} ^ {h} dt \,f\circ x(t)}$ z kwadraturą Gaussa .

${\ Displaystyle x (h) = x (0) + {\ Frac {h} {2}} \sum _{i=1}^{l}w_{i}k_{i}+O(h^{2l})}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle k_ {i} = f \ circ x (hc_ {i})}$ to próbkowane prędkości, ${\ Displaystyle w_ {i}}$ to wagi kwadraturowe do ${\ Displaystyle c_ {i} = {\ Frac {h} {2}} (1 + r_ {i})}$ odcięte i $}$${\ Displaystyle r_$$_$ pierwiastki stopnia $_$ _ Potrzebne $jest$ dalsze przybliżenie, ponieważ można ocenić. Aby zachować błąd obcięcia rzędu $O$$styl wyświetlania O(h^{2l-1})}$ tylko, zamówić $k_ {$$i$ . $\ Displaystyle k_ {i} = f \ lewo (x_ {0} + h \ suma _ {j} a_ {$ jot za jest wywoływane, aby to osiągnąć. Jest to niejawne ograniczenie, które musi zostać rozwiązane przez algorytm znajdowania pierwiastków, taki jak metoda Newtona . Wartości parametrów Runge-Kutty $a_ {ij}$ określić na podstawie rozwinięcia w szereg Taylora ${\ displaystyle$ }

Praktyczny przykład

Metody Gaussa-Legendre'a są niejawne, więc generalnie nie można ich dokładnie zastosować. Zamiast tego dokonuje się świadomego przypuszczenia $,$ następnie używa metody Newtona aby dowolnie zbliżać się do prawdziwego rozwiązania. Poniżej znajduje się funkcja Matlaba, która implementuje metodę Gaussa-Legendre'a rzędu czwartego.

     

  
  
  
   
         
     


    




 
  
    
    
    

    
     
      

      

      0
          
          


   
    
    
         0
    
  

  
    
      
      
    
    

    
      
      
    

           
     
  
         
       
        
   
       
       
   
         
            
    
           
      
      
   
       
  
     
     
  
            
 % punkt początkowy  x  =  [  10,5440  ;  4,1124  ;  35,8233  ];  dt  =  0,01  ;  N  =  10000  ;  seria_x  =  [  x  ];  dla  i  =  1  :  N  x  =  krok_gaussa  (  x  ,  @  lorenz_dynamics  ,  dt  ,  1e-7  ,  1  ,  100  );  seria_x  =  [  seria_x  x  ];  koniec  działki3  (  x_series  (  1  ,:),  x_series  (  2  ,:),  x_series  (  3  ,:)  );  set  (  gca  ,  'xtick'  , [],  'ytick'  , [],  'ztick'  , []);  tytuł  (  „Atraktor Lorenza”  );  powrót  ;  funkcja  [td, j] = lorenz_dynamics  (  stan  )  % zwraca pochodną czasu i jakobian tej pochodnej czasu  x  =  stan  (  1  );  y  =  stan  (  2  );  z  =  stan  (  3  );  sigma  =  10  ;  beta  =  8/3  ;  _  _  rho  =  28  ;  td  =  [  sigma  *  (  y  -  x  );  x  *  (  rho  -  z  )  -  y  ;  x  *  y  -  beta  *  z  ];  j  =  [  -sigma  ,  sigma  ,;  _  _  rho  -  z  ,  -1  ,  -x  ;  _  _  y  ,  x  ,  -beta  ]  ;  funkcja  końcowa  x_next  =  gauss_step  (  x, dynamika, dt, próg, tłumienie, max_iterations  )  [  d  ,  ~  ]  =  size  (  x  );  kwadrat3  =  kwadrat  (  3  );  jeśli  tłumienie  >  1  ||  tłumienie  <=  błąd  (  'tłumienie powinno wynosić od 0 do 1.'  )  end  % Użyj wyraźnych kroków Eulera jako początkowych domysłów  [  k  ,  ~  ]  =  dynamika  (  x  );  x1_zgadnij  =  x  +  (  1  /  2  -  sq3  /  6  )  *  dt  *  k  ;  x2_odgadnij  =  x  +  (  1  /  2  +  sq3  /  6  )  *  dt  *  k  ;  [  k1  ,  ~  ]  =  dynamika  (  x1_zgadnij  );  [  k2  ,  ~  ]  =  dynamika  (  x2_odgadnij  );  a11  =  1/4  ;  _  _  a12  =  1  /  4  -  kwadrat 3  /  6  ;  a21  =  1  /  4  +  kwadrat 3  /  6  ;  a22  =  1/4  ;  _  _  błąd  =  @(  k1  ,  k2  )  [  k1  -  dynamika  (  x  +  (  a11  *  k1  +  a12  *  k2  )  *  dt  );  k2  -  dynamika  (  x  +  (  a21  *  k1  +  a22  *  k2  )  *  dt  )];  er  =  błąd  (  k1  ,  k2  );  iteracja  =  1  ;  while  (  norm  (  er  )  >  próg  &&  iteracja  <  max_iterations  )  fprintf  (  'Iteracja Newtona %d: błąd wynosi %f.\n'  ,  iteracja  ,  norma  (  er  )  );  iteracja  =  iteracja  +  1  ;  [  ~  ,  j1  ]  =  dynamika  (  x  +  (  a11  *  k1  +  a12  *  k2  )  *  dt  );  [  ~  ,  j2  ]  =  dynamika  (  x  +  (  a21  *  k1  +  a22  *  k2  )  *  dt  );  j  =  [  oko  (  re  )  -  dt  *  a11  *  j1  ,  -  dt  *  a12  *  j1  ;  -  dt  *  a21  *  j2  ,  oko  (  re  )  -  dt  *  a22  *  j2  ];  k_następny  =  [  k1  ;  k2  ]  -  tłumienie  *  linsolve  (  j  ,  er  );  k1  =  k_następny  (  1  :  re  );  k2  =  k_następny  (  re  +  (  1  :  re  ));  er  =  błąd  (  k1  ,  k2  );  end  if  norm  (  er  )  >  błąd  progu  (  „Newton nie osiągnął zbieżności przez %d iteracji.”  ,  max_iterations  );  koniec  x_następny  =  x  +  dt  /  2  *  (  k1  +  k2  );  koniec 

Ten algorytm jest zaskakująco tani. Błąd w $w$ spaść poniżej ${-12}}$ zaledwie 2 krokach Newtona. Jedyną dodatkową pracą w porównaniu z jawnymi metodami Runge-Kutty jest obliczenie jakobianu.

Zintegrowana orbita w pobliżu atraktora Lorenza.

Warianty symetryczne w czasie

Kosztem dodania dodatkowej niejawnej relacji metody te można dostosować tak, aby miały symetrię odwrócenia czasu. W tych metodach uśredniona pozycja ${\ Displaystyle (x_ {f} + x_ {i})/2}$ jest używana do obliczania zamiast tylko ${\ displaystyle k_ {i}}$ pozycja początkowa $.$ Kutta Metoda rzędu 2 jest po prostu niejawną metodą punktu środkowego.

${\ Displaystyle k_ {1} = f \ lewo ({\ Frac {x_ {f} + x_ {i}} {2}} \ prawej)}$

${\ Displaystyle x_ {f} = x_ {i} + hk_ {1}}$

Metoda zamówienia 4 z 2 etapami jest następująca.

${\ Displaystyle k_ {1} = f \ lewo ({\ Frac {x_ {f} + x_ {i}} {2}} - { \ frac {\ sqrt {3}} {6}} hk_ {2} \ prawej)}$

${\ Displaystyle k_ {2} = f \ lewo ({\frac {x_{f}+x_{i}}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}hk_{1}\right)}$

${\ Displaystyle x_ {f} = x_ {i} + {\ Frac {h} {2}} (k_ {1} + k_ {2})}$

Metoda zamówienia 6 z 3 etapami jest następująca.

${\ Displaystyle k_ {1} = f \ lewo ({\ Frac {x_ {f} + x_ {i}} {2}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}hk_{2}-{\frac {\sqrt {15}}{30}}hk_{3}\right)}$

${\ Displaystyle k_ {2} = f \ lewo ({\ Frac {x_ {f} + x_ {i}}} {2}} +{\frac {\sqrt {15}}{24}}hk_{1}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}hk_{3}\right)}$

${\ Displaystyle k_ {3} = f \ lewo ({\ Frac {x_ {f} + x_ {i}} {2}} + {\ Frac {\sqrt {15}}{30}}hk_{1}+{\frac {\sqrt {15}}{15}}hk_{2}\right)}$

${\ Displaystyle x_ {f} = x_ {i} + {\ Frac {h} {18}} (5k_ {1} + 8k_ {2} + 5k_ {3})}$

Notatki

•   Iserles, Arieh (1996), pierwszy kurs numerycznej analizy równań różniczkowych , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2 .