Integracja Leapfroga

W analizie numerycznej całkowanie przeskakujące jest metodą numerycznego całkowania równań różniczkowych postaci

$${\ Displaystyle {\ ddot {x}} = {\ Frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = A (x) ,}$$

lub równoważnie formy

$${\ Displaystyle {\ kropka {v}} = {\ Frac {dv} {dt}} = A (x), \;{\kropka {x}}={\frac {dx}{dt}}=v,}$$

zwłaszcza w przypadku dynamicznego układu mechaniki klasycznej .

Metoda znana jest pod różnymi nazwami w różnych dyscyplinach. W szczególności jest podobna do prędkości Verleta , która jest wariantem całkowania Verleta . Integracja Leapfrog $Displaystyle v (t) = {\ kropka {x}}$ równoważna aktualizacji pozycji prędkości $) {$ w różnych przeplatanych punktach czasowych, rozłożonych w taki sposób, że „ przeskakują” . "nad sobą.

Całkowanie Leapfrog jest metodą drugiego rzędu , w przeciwieństwie do całkowania Eulera , która jest tylko pierwszego rzędu, ale wymaga takiej samej liczby ocen funkcji na krok. W przeciwieństwie do całkowania Eulera, $\ Delta t \ leq 2/\ omega}$ , o ile krok czasowy jest stały i $Displaystyle$ .

Używając współczynników Yoshidy, stosując wielokrotnie integrator przeskakujący z odpowiednimi krokami czasowymi, można wygenerować integrator znacznie wyższego rzędu.

Algorytm

W integracji przeskakującej równania do aktualizacji pozycji i prędkości są następujące

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {i} & = A (x_ {i}), \\ v_ {i + 1/2} & = v_ {i-1/2} + a_ {i} \, \Delta t,\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\,\Delta t,\end{wyrównane}}}$

$\ Displaystyle x_ {i}}$ ja $v_ {i + 1/2 \,}}$ to pozycja w kroku $Displaystyle$ v to prędkość lub pierwsza pochodna ${\ Displaystyle x}$ , w kroku ${\ Displaystyle i + 1/2 \,}$ za $\ Displaystyle a_ {i} = A (x_ {i})}$$,$ przyspieszeniem lub drugą pochodną kroku $a$ jest $każdego$ kroku czasowego. Równania te można wyrazić w postaci, która daje również prędkość w krokach całkowitych:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x_ {i + 1} & = x_ {i} + v_ {i} \, \ Delta t + {\ tfrac {1} {2}} \, a_ {i} \, \ Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\ Delta t.\end{wyrównane}}}$

$stały,$ czasowy musi być zachować stabilność.

Zsynchronizowaną formę można ponownie ułożyć w formę „kopnięcie-drift-kopnięcie”;

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} v_ {i + 1/2} & = v_ {i} + a_ {i} {\ Frac {\ Delta t} {2}}, \\ x_ {i + 1} & =x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\v_{i+1}&=v_{i+1/2}+a_{i+1}{\frac {\Delta t }{2}},\end{wyrównane}}}$

który jest używany głównie tam, gdzie wymagane są zmienne kroki czasowe. Rozdzielenie obliczania $)$ koniec kroku zwiększona dwukrotnie ( wówczas wymagane jest tylko jedno dodatkowe (kosztowne obliczeniowo) obliczenie przyspieszenia.

Jednym z zastosowań tego równania są symulacje grawitacji, ponieważ w takim przypadku przyspieszenie zależy tylko od położenia mas grawitacyjnych (a nie od ich prędkości), chociaż integratory wyższego rzędu (takie jak metody Runge-Kutty) są częściej używane .

Integracja typu jumpfrog ma dwie główne zalety w przypadku problemów z mechaniką. Pierwszym z nich jest odwracalność w czasie metody Leapfrog. Można całkować n kroków do przodu, a następnie odwrócić kierunek całkowania i całkować wstecz n kroków, aby dojść do tej samej pozycji wyjściowej. Drugą zaletą jest jego symplektyczny charakter, który czasami pozwala na zachowanie (nieco zmodyfikowanej) energii układu dynamicznego ( dotyczy tylko niektórych prostych układów ). Jest to szczególnie przydatne podczas obliczania dynamiki orbitalnej, ponieważ wiele innych schematów całkowania, takich jak metoda (kolejność-4) Runge-Kutty , nie oszczędza energii i pozwala systemowi na znaczny dryf w czasie.

Ze względu na swoją odwracalność w czasie i ponieważ jest to integrator symplektyczny , integracja przeskakująca jest również stosowana w hamiltonowskim Monte Carlo , metodzie losowania próbek z rozkładu prawdopodobieństwa, którego ogólna normalizacja jest nieznana.

Algorytmy Yoshidy

Integrator jumpfrog można przekształcić w integratory wyższego rzędu przy użyciu technik dzięki Haruo Yoshidzie. W tym podejściu żaba przeskokowa jest stosowana w wielu różnych krokach czasowych. Okazuje się, że gdy sekwencyjnie stosowane są prawidłowe kroki czasowe, błędy są anulowane i można łatwo wytworzyć integratory znacznie wyższego rzędu.

Integrator Yoshida czwartego rzędu

Jeden krok pod integratorem Yoshida czwartego rzędu wymaga czterech kroków pośrednich. Położenie i prędkość są obliczane w różnych momentach. Wymagane są tylko trzy (kosztowne obliczeniowo) obliczenia przyspieszenia.

Równania dla integratora czwartego rzędu do aktualizacji położenia i prędkości są następujące

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x_ {i} ^ {1} & = x_ {i} + c_ {1} \, v_ {i} \, \ delta t, \\ v_ {i} ^ {1} &=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1} +c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,\\v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a( x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2} \,\Delta t,\\v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t, \\x_{i+1}&\równoważnik x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,\ \v_{i+1}&\odpowiednik v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\\end{wyrównane}}}$

gdzie ${\ Displaystyle x_ {i}, v_ {i}}$ to pozycja początkowa i prędkość, ${\ Displaystyle x_ {i} ^ {n}, v_ {i} ^ {n}}$ to położenie pośrednie i prędkość na kroku pośrednim ${\ Displaystyle n}$ , ${\ Displaystyle a (x_ {i} ^ {n})}$ to przyspieszenie w położeniu ${ \displaystyle x_{i}^{n}}$ i $kroku$ końcową pozycją i

współczynniki ${\ Displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4})}$ i ${\ Displaystyle (d_ {1}, d_ {2}, d_ {3})}$ są wyprowadzane w (patrz równanie (4.6))

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} w_ {0} i \ równoważnik - {\ Frac {\ sqrt [{3}] {2}} {2- {\ sqrt [{3}] {2}}}} ,\\w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\c_{1}&=c_{4}\equiv {\ frac {w_{1}}{2}},c_{2}=c_{3}\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\d_{1}&= d_{3}\równoważnik w_{1},d_{2}\równoważnik w_{0}\\\koniec{wyrównany}}}$

${$ tworzą jeden krok, co oznacza, że ​​​​współczynniki sumują się do jednego: $ja} = 1}$${\ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {4} c_$ i ${\ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {3} d_ {i} = 1}$ . Należy pamiętać, że pozycja i prędkość są obliczane w różnym czasie, a niektóre kroki pośrednie są cofane w czasie. Aby to zilustrować, podajemy wartości liczbowe $,$ do $\ Displaystyle c_ {1} = 0,6756}$ do $\ Displaystyle c_ {2} = -0,1756}$ , ${\ Displaystyle c_ {3} = -0,1756}$ , ${\ displaystyle c_ {4} = 0,6756.}$

Zobacz też

• Metody numeryczne dla równań różniczkowych zwyczajnych
• Integracja symplektyczna
• całkowanie Eulera
• Integracja Verleta
• Integracja Runge-Kutty

Linki zewnętrzne

• [1] , Fizyka Uniwersytetu Drexel