Błąd obcięcia (całkowanie numeryczne)

Błędy obcięcia w całkowaniu numerycznym są dwojakiego rodzaju:

lokalne błędy obcięcia – błąd spowodowany jedną iteracją, oraz
globalne błędy obcięcia – skumulowany błąd spowodowany wieloma iteracjami.

Definicje

Załóżmy, że mamy ciągłe równanie różniczkowe

{\ Displaystyle y '= f (t, y), \ qquad y (t_ {0}) = y_ {0}, \ qquad t\geq t_{0}}

i chcemy obliczyć przybliżenie $\$ rozwiązania $Displaystyle y (t_ {n})}$ w krokach czasu ${\ Displaystyle t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {N}}$ . Dla uproszczenia załóżmy, że kroki czasowe są równomiernie rozmieszczone:

{\ Displaystyle h = t_ {n} -t_ {n-1}, \ qquad n = 1,2, \ ldots, N.}

Załóżmy, że obliczamy sekwencję za pomocą jednoetapowej metody postaci ${\ displaystyle y_ {n}}$

{\ Displaystyle y_ {n} = y_ {n-1} + hA (t_ {n-1}, y_ {n-1}, h, f).}

Funkcja nazywana jest funkcją przyrostową $i$ może być interpretowana jako oszacowanie nachylenia $})-y(t_{n-1})}{h}}}$ ${\ Displaystyle {\ Frac {y (t_ {n$ .

Lokalny błąd obcięcia

Lokalny błąd obcięcia $jest$ błędem, który powoduje nasza funkcja przyrostowa $.$ iteracji, przy założeniu doskonałej znajomości prawdziwego rozwiązania w poprzedniej

Bardziej formalnie, lokalny błąd obcięcia w kroku jest obliczany na podstawie różnicy między $}}$ i prawą stroną równania dla przyrostu τ $\ displaystyle \ tau _ {n$ ${\ Displaystyle y_ {n} \ około y_ {n-1} + hA (t_ {n-1}, y_{n-1},h,f)}$ :

{\ Displaystyle \ tau _ {n} = y (t_ {n}) -y (t_ {n-1}) -hA (t_ {n-1}, y (t_ {n-1}), h, f ).}

Metoda numeryczna jest spójna , jeśli lokalny błąd obcięcia wynosi $($ to, że dla każdego taki, że ε $}$ $varepsilon > 0$ ${\ Displaystyle | \ tau _ {n} | <\ varepsilon h}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle h <H}$ ; patrz notacja little-o ). Jeśli funkcja przyrostowa $,$ ciągła, to metoda jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy $y, 0 ,f)=f(t,y)}$ .

Ponadto mówimy, że metoda numeryczna ma $O$ , jeśli dla dowolnego wystarczająco płynnego rozwiązania problemu z wartością początkową lokalny błąd obcięcia wynosi $(h ^ {p + 1})}$ (co oznacza, że istnieją stałe H. $H}$ $Displaystyle$ takie, że ${\ Displaystyle | \ tau _ {n} | <Ch ^ {p + 1}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle h <H}$ ).

Globalny błąd obcięcia

Globalny błąd obcięcia to suma lokalnego błędu obcięcia we wszystkich iteracjach, przy założeniu doskonałej znajomości prawdziwego rozwiązania w początkowym kroku czasowym. ^{[ potrzebne źródło ]}

Bardziej formalnie, globalny błąd obcięcia ${n$ $}}$ { \

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e_ {n} & = y (t_ {n}) -y_ {n} \\& = y (t_ {n}) - {\ duży (} y_ {0} + hA (t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1 },h,f){\Duży )}.\end{wyrównane}}}

Metoda numeryczna jest zbieżna , jeśli globalny błąd obcięcia dąży do zera, gdy wielkość kroku dąży do zera; innymi słowy rozwiązanie numeryczne jest zbieżne do rozwiązania dokładnego: ${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} \ max _ {n} | e_ {n} | = 0}$ .

Związek między lokalnymi i globalnymi błędami obcięcia

Czasami możliwe jest obliczenie górnej granicy globalnego błędu obcięcia, jeśli znamy już lokalny błąd obcięcia. Wymaga to, aby nasza funkcja inkrementacyjna była wystarczająco dobrze zachowywana.

Globalny błąd obcięcia spełnia relację powtarzania:

{\ Displaystyle e_ {n + 1} = e_ {n} + h {\ duży (} A (t_ {n}, y (t_ {n}), h, f) -A (t_ {n}, y_ { n},h,f){\Duży}}+\tau _{n+1}.}

Wynika to bezpośrednio z definicji. $displaystyle$ teraz, że funkcja przyrostowa jest ciągła Lipschitza w drugim argumencie, $\$ znaczy istnieje stała taka, że dla wszystkich i $t}$ i ${\ displaystyle y_ {2}}$ mamy:

{\ Displaystyle | A (t, y_ {1}, h, f) -A (t, y_ {2}, h, f) | \ równoważnik L | y_ {1} -y_ {2} |.}

Wtedy błąd globalny spełnia granicę

{\ Displaystyle | e_ {n} | \ równoważnik {\ Frac {\ max _ {j} \ tau _ {j}} {hL}} \ lewo (\ operatorname {e} ^ {L (t_ {n} -t_ {0})}-1\prawo).}

Z powyższej granicy błędu globalnego wynika, że jeśli funkcja w równaniu $różniczkowym$ jest ciągła w pierwszym argumencie i ciągła Lipschitza w drugim argumencie (warunek z twierdzenia Picarda – Lindelöfa , a fa {\ displaystyle f} funkcja przyrostowa ${$ ciągła we wszystkich argumentach, a Lipschitz jest ciągła w drugim argumencie, to błąd globalny dąży do zera, gdy rozmiar kroku $\ Displaystyle A}$ się do zera (innymi słowy, metoda numeryczna zbiega się do A dokładne rozwiązanie).

Rozszerzenie do liniowych metod wieloetapowych

Rozważmy teraz liniową metodę wieloetapową określoną wzorem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i y_ {n + s} + a_ {s -1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+ \cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{wyrównane}}}

Zatem następna wartość dla rozwiązania numerycznego jest obliczana zgodnie z

{\ Displaystyle y_ {n + s} = - \ suma _ {k = 0} ^ {s-1} a_ {k} y_ {n + k} + h \ suma _ {k = 0} ^ {s} b_ {k}f(t_{n+k},y_{n+k}).}

Następna iteracja liniowej metody wieloetapowej zależy od poprzednich iteracji . Zatem w definicji lokalnego błędu obcięcia zakłada się teraz, że wszystkie poprzednie iteracje odpowiadają dokładnemu rozwiązaniu:

{\ Displaystyle \ tau _ {n} = y (t_ {n + s}) + \ suma _ {k = 0} ^ {s-1} a_ {k} y (t_ {n + k}) -h \ suma _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).}

$_{n}=O(h^{p+1})}$ metoda jest spójna, jeśli $O$ , jeśli τ $Displaystyle$ . Definicja globalnego błędu obcięcia również pozostaje niezmieniona.

Relacja między lokalnymi i globalnymi błędami obcięcia jest nieco inna niż w prostszym ustawieniu metod jednoetapowych. W przypadku liniowych metod wieloetapowych do wyjaśnienia relacji między lokalnymi i globalnymi błędami obcięcia potrzebna jest dodatkowa koncepcja zwana zerową stabilnością . Liniowe metody wieloetapowe, które spełniają warunek zerowej stabilności, mają taki sam związek między błędami lokalnymi i globalnymi, jak metody jednoetapowe. Innymi słowy, jeśli liniowa metoda wieloetapowa jest zero-stabilna i spójna, to jest zbieżna. A jeśli liniowa metoda wieloetapowa jest zero-stabilna i ma błąd lokalny ${\ Displaystyle \ tau _ {n} = O (h ^ {p + 1})}$ , to jego globalny błąd spełnia ${\ Displaystyle e_ {n} = O ( h^{p})}$ .

Zobacz też

Notatki

Iserles, Arieh (1996), pierwszy kurs numerycznej analizy równań różniczkowych , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2 .
Suli, Endre; Mayers, David (2003), Wprowadzenie do analizy numerycznej , Cambridge University Press , ISBN 0521007941 .

Linki zewnętrzne