Metoda elementów dyskretnych

Metoda elementów dyskretnych ( DEM ), zwana także metodą elementów odrębnych , to dowolna z rodziny metod numerycznych służących do obliczania ruchu i wpływu dużej liczby małych cząstek. Chociaż DEM jest bardzo blisko spokrewniony z dynamiką molekularną , metoda ta zasadniczo wyróżnia się włączeniem obrotowych stopni swobody, jak również kontaktu stanowego i często skomplikowanych geometrii (w tym wielościanów). Dzięki postępowi w mocy obliczeniowej i algorytmom numerycznym do sortowania według najbliższych sąsiadów możliwe stało się numeryczne symulowanie milionów cząstek na jednym procesorze. Obecnie DEM staje się powszechnie akceptowany jako skuteczna metoda rozwiązywania problemów inżynierskich w materiałach ziarnistych i nieciągłych, zwłaszcza w przepływach granularnych, mechanice proszków i mechanice skał. DEM został rozszerzony o rozszerzoną metodę elementów dyskretnych, uwzględniając przenoszenie ciepła , reakcję chemiczną i sprzężenie z CFD i MES .

Metody elementów dyskretnych są stosunkowo wymagające obliczeniowo, co ogranicza albo długość symulacji, albo liczbę cząstek. Kilka kodów DEM, podobnie jak kody dynamiki molekularnej, wykorzystuje możliwości przetwarzania równoległego (systemy współdzielone lub rozproszone) w celu zwiększenia liczby cząstek lub długości symulacji. Alternatywą dla traktowania wszystkich cząstek osobno jest uśrednienie fizyki dla wielu cząstek, a tym samym traktowanie materiału jako kontinuum . W przypadku stałych typu ziarnistego, jak w mechanice gruntów , podejście kontinuum zwykle traktuje materiał jako sprężysty lub sprężysto-plastyczny i modeluje go metodą elementów skończonych lub metodą bez siatki . W przypadku płynnego lub gazopodobnego przepływu ziarnistego podejście kontinuum może traktować materiał jako płyn i wykorzystywać obliczeniową dynamikę płynów . Wady homogenizacji fizyki w skali ziarnistej są jednak dobrze udokumentowane i należy je dokładnie rozważyć przed próbą zastosowania podejścia kontinuum.

Rodzina DEM

Różne gałęzie rodziny DEM to metoda elementów odrębnych zaproponowana przez Petera A. Cundalla i Otto DL Stracka w 1979 r., metoda uogólnionych elementów dyskretnych ( Williams, Hocking i Mustoe 1985 ), analiza odkształceń nieciągłych (DDA) ( Shi 1992 ) oraz metoda elementów skończonych-dyskretnych, rozwijana równolegle przez kilka grup (np. Munjiza i Owen). Ogólna metoda została pierwotnie opracowana przez Cundalla w 1971 roku do problemów mechaniki skał. Williams, Hocking i Mustoe (1985) wykazali, że DEM można postrzegać jako uogólnioną metodę elementów skończonych. Jego zastosowanie do problemów geomechaniki opisano w książce Numerical Methods in Rock Mechanics ( Williams, Pande & Beer 1990 ). Pierwsze, drugie i trzecie międzynarodowe konferencje na temat metod elementów dyskretnych były dla naukowców wspólnym punktem publikacji postępów w tej metodzie i jej zastosowaniach. Artykuły w czasopismach, w których dokonano przeglądu stanu techniki, zostały opublikowane przez Williamsa, Bicanica oraz Bobeta i in. (patrz poniżej). Kompleksowe omówienie metody elementów skończonych i elementów dyskretnych jest zawarte w książce The Combined Finite-Discrete Method Method .

Symulacja elementów dyskretnych z cząstkami ułożonymi według zdjęcia Petera A. Cundalla . Jak zaproponowali Cundall i Strack (1979), ziarna oddziałują z siłami liniowo-sprężystymi i tarciem kulombowskim. Kinematyka ziarna ewoluuje w czasie poprzez czasową integrację ich siły i równowagi momentu obrotowego. Zbiorowe zachowanie jest samoorganizujące się z dyskretnymi strefami ścinania i kątami spoczynku, co jest charakterystyczne dla niespoistych materiałów ziarnistych.

Aplikacje

Podstawowym założeniem metody jest to, że materiał składa się z oddzielnych, dyskretnych cząstek. Cząstki te mogą mieć różne kształty i właściwości, które wpływają na kontakt międzycząsteczkowy. Niektóre przykłady to:

  • płyny i roztwory, na przykład cukru lub białek;
  • materiały sypkie w silosach magazynowych, takie jak zboża;
  • ziarnista materia, taka jak piasek;
  • proszki, takie jak tonik.
  • Blokowe lub łączone masy skalne

Typowe branże korzystające z DEM to:

  • Rolnictwo i obsługa żywności
  • Chemiczny
  • Detergenty
  • Olej i gaz
  • Górnictwo
  • Przetwarzanie minerałów
  • Przemysł farmaceutyczny
  • Metalurgia proszków

Zarys metody

Symulacja DEM rozpoczyna się od wygenerowania modelu, co skutkuje przestrzenną orientacją wszystkich cząstek i przypisaniem prędkości początkowej . Siły działające na każdą cząstkę są obliczane na podstawie danych początkowych oraz odpowiednich praw fizycznych i modeli kontaktowych. Ogólnie symulacja składa się z trzech części: inicjalizacji, wyraźnego przechodzenia w czasie i przetwarzania końcowego. Kroki czasowe zwykle wymagają kroku sortowania najbliższego sąsiada, aby zmniejszyć liczbę możliwych par styków i zmniejszyć wymagania obliczeniowe; jest to często wykonywane tylko okresowo.

W symulacjach makroskopowych może być konieczne uwzględnienie następujących sił:

  • tarcie , gdy dwie cząstki stykają się ze sobą;
  • plastyczność kontaktowa lub odrzut, gdy zderzają się dwie cząstki;
  • grawitacja , siła przyciągania między cząstkami ze względu na ich masę, która ma znaczenie tylko w symulacjach astronomicznych.
  • potencjały przyciągające, takie jak kohezja , adhezja , mostkowanie cieczy, przyciąganie elektrostatyczne . Należy zauważyć, że ze względu na narzut związany z określaniem par najbliższych sąsiadów, dokładna rozdzielczość sił dalekiego zasięgu w porównaniu z rozmiarem cząstek może zwiększyć koszt obliczeniowy lub wymagać specjalistycznych algorytmów do rozwiązania tych interakcji.

Na poziomie molekularnym możemy rozważyć:

Wszystkie te siły dodaje się, aby znaleźć całkowitą siłę działającą na każdą cząstkę. Metoda całkowania jest wykorzystywana do obliczania zmiany położenia i prędkości każdej cząstki w określonym przedziale czasu z praw ruchu Newtona . Następnie nowe pozycje są wykorzystywane do obliczenia sił w następnym kroku, a ta pętla jest powtarzana aż do zakończenia symulacji.

Typowe metody integracji stosowane w metodzie elementów dyskretnych to:

Termiczny DEM

Metoda elementów dyskretnych jest szeroko stosowana do rozważania interakcji mechanicznych w problemach wielociałowych, zwłaszcza w materiałach ziarnistych. Wśród różnych rozszerzeń DEM szczególnie przydatne jest uwzględnienie przepływu ciepła. Ogólnie rzecz biorąc, w metodach Thermal DEM uwzględnia się sprzężenie termomechaniczne, w którym uwzględnia się właściwości termiczne pojedynczego elementu w celu modelowania przepływu ciepła przez makroskopowy ośrodek ziarnisty lub wieloelementowy poddany obciążeniu mechanicznemu. Siły międzycząsteczkowe, obliczone w ramach klasycznego DEM, są wykorzystywane do wyznaczania obszarów rzeczywistego kontaktu międzycząsteczkowego, a tym samym do modelowania przewodzenia ciepła z jednego elementu stałego do drugiego. Kolejnym aspektem rozważanym w DEM jest przewodnictwo w fazie gazowej, promieniowanie i konwekcja ciepła w przestrzeniach międzycząsteczkowych. Aby to ułatwić, należy wziąć pod uwagę właściwości międzypierwiastkowej fazy gazowej pod względem ciśnienia, przewodności gazu i średniej drogi swobodnej cząsteczek gazu.

Siły dalekiego zasięgu

Kiedy brane są pod uwagę siły dalekiego zasięgu (zwykle grawitacja lub siła Coulomba), wówczas należy obliczyć interakcję między każdą parą cząstek. Zarówno liczba interakcji, jak i koszt obliczeń rosną kwadratowo wraz z liczbą cząstek. Jest to niedopuszczalne w przypadku symulacji z dużą liczbą cząstek. Możliwym sposobem uniknięcia tego problemu jest połączenie kilku cząstek, które są daleko od rozważanej cząstki, w jedną pseudocząstkę. Rozważmy jako przykład interakcję między gwiazdą a odległą galaktyką : błąd wynikający z połączenia wszystkich gwiazd w odległej galaktyce w jedną masę punktową jest pomijalny. Tak zwane algorytmy drzewa służą do decydowania, które cząstki można połączyć w jedną pseudocząstkę . Algorytmy te układają wszystkie cząstki w drzewo, drzewo czwórkowe w przypadku dwuwymiarowym i ośmiodrzewo w przypadku trójwymiarowym .

Jednak symulacje w dynamice molekularnej dzielą przestrzeń, w której odbywa się symulacja, na komórki. Cząstki opuszczające jedną stronę komórki są po prostu wstawiane po drugiej stronie (okresowe warunki brzegowe ); to samo dotyczy sił. Siła nie jest już brana pod uwagę po tak zwanej odległości odcięcia (zwykle połowie długości komórki), dzięki czemu na cząstkę nie wpływa lustrzane odbicie tej samej cząstki po drugiej stronie komórki. Można teraz zwiększyć liczbę cząstek, po prostu kopiując komórki.

Algorytmy radzenia sobie z siłą dalekiego zasięgu obejmują:

Połączona metoda elementów skończonych i dyskretnych

Po pracach Munjizy i Owena połączona metoda elementów skończonych i dyskretnych została dalej rozwinięta w celu uzyskania różnych nieregularnych i odkształcalnych cząstek w wielu zastosowaniach, w tym w tabletkowaniu farmaceutycznym, symulacjach pakowania i przepływu oraz analizie uderzenia.

Zalety i ograniczenia

Zalety

  • DEM można wykorzystać do symulacji różnorodnych przepływów granularnych i sytuacji związanych z mechaniką skał. Kilka grup badawczych niezależnie opracowało oprogramowanie symulacyjne, które dobrze zgadza się z wynikami eksperymentów w szerokim zakresie zastosowań inżynieryjnych, w tym w proszkach klejących, przepływie granulatu i połączonych masach skalnych.
  • DEM pozwala na bardziej szczegółowe badanie mikrodynamiki przepływu proszku niż jest to często możliwe przy użyciu eksperymentów fizycznych. Na przykład sieci sił utworzone w ośrodkach ziarnistych można wizualizować za pomocą DEM. Takie pomiary są prawie niemożliwe w eksperymentach z małymi i wieloma cząstkami.

Niedogodności

  • Maksymalna liczba cząstek i czas trwania wirtualnej symulacji są ograniczone mocą obliczeniową. Typowe przepływy zawierają miliardy cząstek, ale współczesne symulacje DEM na dużych klastrowych zasobach obliczeniowych dopiero niedawno były w stanie zbliżyć się do tej skali przez wystarczająco długi czas (czas symulowany, a nie rzeczywisty czas wykonania programu).
  • DEM jest wymagający obliczeniowo, co jest powodem, dla którego nie został tak łatwo i szeroko przyjęty jako podejście kontinuum w naukach inżynierii komputerowej i przemyśle. Jednak rzeczywisty czas wykonywania programu można znacznie skrócić, gdy do przeprowadzania symulacji DEM wykorzystuje się procesory graficzne (GPU) ze względu na dużą liczbę rdzeni obliczeniowych na typowych procesorach graficznych. Ponadto procesory graficzne są zwykle znacznie bardziej energooszczędne niż konwencjonalne klastry obliczeniowe podczas przeprowadzania symulacji DEM, tj. symulacja DEM rozwiązana na procesorach graficznych wymaga mniej energii niż w przypadku rozwiązania w konwencjonalnym klastrze obliczeniowym.

Zobacz też

Bibliografia

Książka

  •   Bicanic, Ninad (2004). „Metody elementów dyskretnych”. W Stein, Erwin; De Borsta; Hughes, Thomas JR (red.). Encyklopedia mechaniki obliczeniowej . Tom. 1. Wiley. ISBN 978-0-470-84699-5 .
  •   Griebel, Michael; i in. (2003). Numerische Simulation in der Moleküldynamik . Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-41856-6 .
  • Williams, JR; Hocking, G.; Mustoe, GGW (styczeń 1985). „Teoretyczne podstawy metody elementów dyskretnych”. NUMETA 1985, Numeryczne metody inżynierii, teoria i zastosowania . Rotterdam: AA Balkema.
  •   Williams, GN; Pande, G.; Piwo, JR (1990). Metody numeryczne w mechanice skał . Chichester: Wiley. ISBN 978-0471920212 .
  •   Radjai, Farang; Dubois, Frédéric, wyd. (2011). Modelowanie elementów dyskretnych materiałów ziarnistych . Londyn: Wiley-ISTE. ISBN 978-1-84821-260-2 .
  •   Pöschel, Thorsten; Schwager, Thoms (2005). Obliczeniowa dynamika granularna: modele i algorytmy . Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-21485-4 .

Czasopismo

Obrady

  • Shi, Gen-Hua (luty 1992). „Analiza nieciągłych deformacji: nowy model numeryczny dla statyki i dynamiki odkształcalnych struktur blokowych”. Obliczenia inżynierskie . 9 (2): 157–168. doi : 10.1108/eb023855 .
  • Williams, John R.; Pentland, Alex P. (luty 1992). „Superkwadryki i dynamika modalna dla elementów dyskretnych w projektowaniu interaktywnym”. Obliczenia inżynierskie . 9 (2): 115–127. doi : 10.1108/eb023852 .
  •   Williams, John R.; Mustoe, Graham GW, wyd. (1993). Materiały z 2. Międzynarodowej Konferencji na temat metod elementów dyskretnych (DEM) (wyd. 2). Cambridge, MA: Publikacje IESL. ISBN 978-0-918062-88-8 .