Integrator wariacyjny

Integratory wariacyjne to integratory numeryczne dla układów hamiltonowskich wyprowadzone z równań Eulera – Lagrange'a zdyskretyzowanej zasady Hamiltona . Integratory wariacyjne zachowują pęd i są symplektyczne .

Wyprowadzenie prostego integratora wariacyjnego

Rozważmy układ mechaniczny z pojedynczym stopniem swobody cząstki opisanym przez Lagrange'a

${\ Displaystyle L (t, q, v) = {\ Frac {1} {2}} mv ^ {2} -V ( Q),}$

gdzie $jest$ masą cząstki, $a$ . Aby skonstruować wariacyjny integrator dla tego systemu, zaczynamy od utworzenia dyskretnego Lagrange'a . Dyskretny Lagrange'a przybliża działanie systemu w krótkim przedziale czasu:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}) & = {\ Frac {t_ {1} -t_ {0}} {2}}\left[L\left(t_{0},q_{0},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right) +L\left(t_{1},q_{1},{\frac {q_{1}-q_{0}}{t_{1}-t_{0}}}\right)\right]\\& \około \int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt\,L(t,q(t),v(t)).\end{wyrównane}}}$

Tutaj wybraliśmy aproksymację całki po czasie za pomocą metody trapezów i używamy liniowego przybliżenia trajektorii,

${\ Displaystyle q (t) \ około {\ Frac {q_ {1} -q_ {0}} {t_ {1} -t_ {0}}}(t-t_{0})+q_{0}}$

t ${\ Displaystyle t_ {0}}$ i ${1}}$ , co daje stałą prędkość ${\ Displaystyle v \ w przybliżeniu \ lewo (q_{1}-q_{0}\prawo)/\lewo(t_{1}-t_{0}\prawo)}$ . Różne wybory przybliżenia trajektorii i całki po czasie dają różne integratory wariacyjne. Rząd dokładności integratora jest kontrolowany przez dokładność naszego przybliżenia do działania; od

${\ Displaystyle L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \, dt \, L(t,q(t),v(t))+{\mathcal {O}}(t_{1}-t_{0})^{2},}$

nasz integrator będzie dokładny drugiego rzędu.

Równania ewolucji dla układu dyskretnego można wyprowadzić z zasady działania stacjonarnego. Dyskretne działanie w wydłużonym przedziale czasu jest sumą dyskretnych Lagrange'ów w wielu podprzedziałach:

${\ Displaystyle S_ {d} = L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}) + L_ {d} (t_ {1}, t_ {2}, q_ {1},q_{2})+\cdots .}$

Zasada stacjonarnego działania stwierdza, że ​​​​działanie jest stacjonarne w odniesieniu do zmian współrzędnych, które pozostawiają ustalone punkty końcowe trajektorii. Tak więc, zmieniając współrzędną, mamy. ${\ displaystyle q_ {1}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe S_ {d}} {\ częściowe q_ {1}}} = 0 = {\ Frac {\ częściowe} {\ częściowe q_ {1}}} L_ {d} \ lewo (t_ {0},t_{1},q_{0},q_{1}\right)+{\frac {\częściowe }{\częściowe q_{1}}}L_{d}\left(t_{1}, t_{2},q_{1},q_{2}\prawo).}$

Biorąc pod uwagę warunek początkowy ${\ Displaystyle (q_ {0}, q_ {1})}$ i sekwencję czasów ${\ Displaystyle (t_ {0}, t_ {1}, t_ {2})}$ zapewnia to relację, którą można rozwiązać dla ${\ displaystyle q_ {2}}$ . Rozwiązaniem jest

${\ Displaystyle q_ {2} = q_ {1} + {\ Frac {t_ {2} -t_ {1}} {t_ {1} -t_ {0}}} (q_ {1} -q_ {0}) -{\frac {(t_{2}-t_{0})(t_{2}-t_{1})}{2m}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1 }).}$

Możemy to zapisać w prostszej postaci, jeśli zdefiniujemy dyskretny moment,

${\ Displaystyle p_ {0} \ równoważnik - {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy q_ {0}}} L_ {d} ( t_{0},t_{1},q_{0},q_{1})}$

I

${\ Displaystyle p_ {1} \ równoważnik {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy q_ {1}}} L_ {d} (t_ {0}, t_ {1}, q_ {0}, q_ {1}) .}$

$pod$ uwagę warunek początkowy stacjonarnego równoważny rozwiązaniu pierwszego z tych równań dla ${1}}$ a następnie określenie $drugiego$ równania. Ten schemat ewolucji daje

${\ Displaystyle q_ {1} = q_ {0} + {\ Frac {t_ {1} - t_{0}}{m}}p_{0}-{\frac {(t_{1}-t_{0})^{2}}{2m}}{\frac {d}{dq_{0}} }V(q_{0})}$

I

${\ Displaystyle p_ {1} = m {\ Frac {q_ {1} -q_ {0}} {t_ {1} -t_ {0}}} - {\ Frac {t_ {1} -t_ {0}} {2}}{\frac {d}{dq_{1}}}V(q_{1}).}$

To jest schemat integracji typu jumpfrog dla systemu; dwa etapy tej ewolucji są równoważne z powyższym wzorem dla ${\ displaystyle q_ {2}}$

Zobacz też

• Integrator grupy kłamstw

• E. Hairer, C. Lubich i G. Wanner. Geometryczne całkowanie numeryczne . Springera, 2002.
• J. Marsdena i M. Westa. Mechanika dyskretna i integratory wariacyjne . Acta Numerica, 2001, s. 357–514.