Integrator multisymplektyczny

W matematyce multisymplektyczny integrator jest numeryczną metodą rozwiązywania pewnej klasy równań różniczkowych cząstkowych , o których mówi się, że są multisymplektyczne. Integratory multisymplektyczne są integratorami geometrycznymi , co oznacza, że ​​zachowują geometrię problemów; w szczególności metoda numeryczna zachowuje w pewnym sensie energię i pęd, podobnie jak samo równanie różniczkowe cząstkowe. Przykłady multisymplektycznych integratorów obejmują schemat skrzynkowy Eulera i schemat skrzynkowy Preissmana.

Równania multisymplektyczne

Mówi się, że równanie różniczkowe cząstkowe (PDE) jest równaniem multisymplektycznym , jeśli można je zapisać w postaci

${\ Displaystyle Kz_ {t} + Lz_ {x} = \ nabla S (z),}$

z ${\ Displaystyle Z (t, x)}$ jest niewiadomą, i ${$$\ Displaystyle L}$ (stałymi) macierzami skośno-symetrycznymi ∇ $}$$\ Displaystyle \ nabla$${\ displaystyle S}$ oznacza gradient S . Jest to naturalne uogólnienie ${\ Displaystyle Jz_ {t} = \ nabla H (z)}$ , forma Hamiltona ODE .

Przykłady multisymplektycznych PDE obejmują nieliniowe równanie Kleina – Gordona lub bardziej ogólnie falę nieliniową ${\ Displaystyle u_ {tt} -u_ {xx} = V' (u)}$ równanie ${\ Displaystyle u_ {tt} = \ częściowe _ {x} \ sigma '(u_ {x}) -f' (u)}$ u ${xxx} = 0}$ u_ .

Zdefiniuj 2 formy $κ {\ displaystyle \$ kappa} przez κ $\ displaystyle \ kappa}$

${\ Displaystyle \ omega (u, v) = \ langle Ku, v \ rangle \ quad {\ tekst {i}}\quad \kappa (u,v)=\langle Lu,v\rangle }$

gdzie $_$ _ _ _ Równanie różniczkowe zachowuje symplektyczność w tym sensie, że

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} \ omega + \ częściowe _ {x} \ kappa = 0.}$

Biorąc iloczyn skalarny PDE z otrzymujemy lokalne prawo zachowania energii: ${\ displaystyle u_ {t}}$

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} E (u) + \ częściowe _ {x} F (u) = 0 \ quad {\ tekst {gdzie}} \ quad E (u) = S (u) - {\ tfrac {1}{2}}\kappa (u_{x},u),\,F(u)={\tfrac {1}{2}}\kappa (u_{t},u).}$

Lokalne prawo zachowania pędu jest wyprowadzane w podobny sposób:

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} I (u) + \ częściowe _ {x} G (u) = 0 \ quad {\ tekst {gdzie}} \ quad I (u) = {\ tfrac {1} {2 }}\omega (u_{x},u),\,G(u)=S(u)-{\tfrac {1}{2}}\omega (u_{t},u).}$

Schemat pudełka Eulera

Integrator multisymplektyczny to numeryczna metoda rozwiązywania multisymplektycznych PDE, których rozwiązanie numeryczne zachowuje dyskretną postać symplektyczności. Jednym z przykładów jest schemat skrzynkowy Eulera, który jest uzyskiwany przez zastosowanie symplektycznej metody Eulera do każdej zmiennej niezależnej.

Schemat skrzynki Eulera wykorzystuje podział macierzy skośnosymetrycznych i postaci: ${\ displaystyle K}$ i ${\ displaystyle L}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} K & = K_ {+} + K_ {-} \ quad {\ tekst {z}} \ quad K_ {-} = - K_ {+} ^ {T}, \\ L & = L_{+}+L_{-}\quad {\text{z}}\quad L_{-}=-L_{+}^{T}.\end{wyrównane}}}$

$są to odpowiednio$$displaystyle K_ {$ można przyjąć, że i górna trójkątna część i $K$${\$ .

Teraz wprowadź jednolitą siatkę i niech $,$ przybliżenie do ${\ Displaystyle u (n \ Delta {t}$$odstępami siatki w$ i są $.$ przestrzeni Następnie schemat skrzynki Eulera jest

${\ Displaystyle K_ {+} \ częściowe _ {t} ^ {+} u_ {n, i} + K_ {-} \ częściowe _ {t} ^ {-} u_ {n, i} + L_ {+} \ częściowe _{x}^{+}u_{n,i}+L_{-}\częściowe _{x}^{-}u_{n,i}=\nabla {S}(u_{n,i}) }$

gdzie operatory różnic skończonych są zdefiniowane przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ częściowe _ {t} ^ {+} u_ {n, i} & = {\ Frac {u_ {n + 1, i} -u_ {n, i}} {\ Delta {t}}},&\częściowe _{x}^{+}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i+1}-u_{n,i}}{\Delta {x }}},\\[1ex]\częściowe _{t}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n-1,i}}{\Delta {t}}},&\częściowe _{x}^{-}u_{n,i}&={\frac {u_{n,i}-u_{n,i-1}}{\Delta {x }}}.\end{wyrównane}}}$

Schemat skrzynkowy Eulera jest metodą pierwszego rzędu, która spełnia dyskretne prawo zachowania

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {+} \ omega _ {n, i} + \ częściowe _ {x} ^ {+} \ kappa _ {n, i} = 0 \ quad {\ tekst {gdzie} }\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i-1}\klin K_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}\quad {\text{ and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n-1,i}\klin L_{+}\,\mathrm {d} u_{n,i}.}$

Schemat pudełka Preissmana

Innym integratorem multisymplektycznym jest schemat pudełkowy Preissmana, który został wprowadzony przez Preissmana w kontekście hiperbolicznych PDE. Jest również znany jako wyśrodkowany schemat komórkowy. Schemat pudełka Preissmana można wyprowadzić, stosując regułę uwikłanego punktu środkowego , która jest integratorem symplektycznym, do każdej ze zmiennych niezależnych. Prowadzi to do schematu

${\ Displaystyle K \ częściowe _ {t}^{+}u_{n,i+1/2}+L\częściowe _{x}^{+}u_{n+1/2,i}=\nabla {S}(u_{n+ 1/2,i+1/2}),}$

$gdzie$ operatory różnic skończonych $jak$ zdefiniowane w połowie -liczby całkowite są zdefiniowane przez

${\ Displaystyle u_ {n, i + 1/2} = {\ Frac {u_ {n, i} + u_ {n, i + 1}} {2}}, \ quad u_ {n + 1/2, ja }={\frac {u_{n,i}+u_{n+1,i}}{2}},u_{n+1/2,i+1/2}={\frac {u_{n, i}+u_{n,i+1}+u_{n+1,i}+u_{n+1,i+1}}{4}}.}$

Schemat pudełka Preissmana jest multisymplektycznym integratorem drugiego rzędu, który spełnia dyskretne prawo zachowania

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} ^ {+} \ omega _ {n, i} + \ częściowe _ {x} ^ {+} \ kappa _ {n, i} = 0 \ quad {\ tekst {gdzie} }\quad \omega _{n,i}=\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\klin K\,\mathrm {d} u_{n,i+1/2}\quad { \text{and}}\quad \kappa _{n,i}=\mathrm {d} u_{n+1/2,i}\klin L\,\mathrm {d} u_{n+1/2, I}.}$

Notatki

• Abbott, MB; Basco, DR (1989), Obliczeniowa dynamika płynów , Longman Scientific .
•   Bridges, Thomas J. (1997), „Sformułowanie geometryczne zachowania działania fal i jego implikacje dla sygnatury i klasyfikacji niestabilności” (PDF) , Proc. R. Soc. Londyn. A , 453 (1962): 1365–1395, Bibcode : 1997RSPSA.453.1365B , doi : 10.1098/rspa.1997.0075 , S2CID 122524451 .
•   Mosty, Thomas J.; Reich, Sebiastian (2001), „Multi-symplektyczne integratory: schematy numeryczne dla hamiltonowskich PDE, które zachowują symplektyczność”, Phys. Łotysz. A , 284 (4–5): 184–193, Bibcode : 2001PhLA..284..184B , CiteSeerX 10.1.1.46.2783 , doi : 10.1016/S0375-9601(01)00294-8 .
•   Leimkuhler, Benedykt; Reich, Sebastian (2004), Symulacja dynamiki hamiltonowskiej , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-77290-7 .
• Islas, AL; Schober, CM (2004), „O zachowaniu struktury przestrzeni fazowej w dyskretyzacji multisymplektycznej”, J. Comput. fizyka , 197 (2): 585–609, Bibcode : 2004JCoPh.197..585I , doi : 10.1016/j.jcp.2003.12.010 .
•    Moore, Brian; Reich, Sebastian (2003), „Analiza błędów wstecznych dla multisymplektycznych metod całkowania”, Numer. Matematyka , 95 (4): 625–652, CiteSeerX 10.1.1.163.8683 , doi : 10.1007/s00211-003-0458-9 , S2CID 9669195 .