Sieć Niemeiera

W matematyce sieć Niemeiera jest jedną z 24 dodatnio określonych, nawet jednomodułowych sieci rzędu 24, które zostały sklasyfikowane przez Hansa-Volkera Niemeiera ( 1973 ) . Venkov (1978) podał uproszczony dowód klasyfikacji. Witt (1941) ma zdanie wspominające, że znalazł więcej niż 10 takich krat, ale nie podaje dalszych szczegółów. Jednym z przykładów sieci Niemeiera jest sieć Leecha .

Klasyfikacja

Sieci Niemeiera są zwykle oznaczane diagramem Dynkina ich systemów korzeniowych . Te diagramy Dynkina mają rangę 0 lub 24, a wszystkie ich elementy mają ten sam numer Coxetera . (Liczba Coxetera, przynajmniej w tych przypadkach, to liczba pierwiastków podzielona przez wymiar). Istnieją dokładnie 24 diagramy Dynkina z tymi właściwościami i okazuje się, że dla każdego z tych diagramów Dynkina istnieje unikalna sieć Niemeiera.

Pełną listę sieci Niemeiera podano w poniższej tabeli. Na stole,

₀ G jest rzędem grupy generowanej przez odbicia

G ₁ jest rzędem grupy automorfizmów ustalających wszystkie składowe diagramu Dynkina

G ₂ jest rzędem grupy automorfizmów permutacji składowych diagramu Dynkina

G _∞ jest indeksem sieci korzeniowej w sieci Niemeiera, innymi słowy kolejność „kodu kleju”. Jest to pierwiastek kwadratowy z wyróżnika sieci korzeniowej.

₀ G × G ₁ × G ₂ jest rzędem grupy automorfizmów sieci

G _∞ × G ₁ × G ₂ jest rzędem grupy automorfizmów odpowiedniego głębokiego otworu.

Kraciasty system korzeniowy	Numer Coxetera	G₀	G ₁	G ₂	G _∞
Sieć pijawek (bez korzeni)	0	1	2Co ₁	1	Z ²⁴
1 ²⁴_{_}	2	2 ²⁴	1	M ₂₄	2 ¹²
2 ¹²_{_}	3	3! ¹²	2	M ₁₂	3 ⁶
3 ⁸_{_}	4	4! ⁸	2	1344	4 ⁴
4 ⁶_{_}	5	5! ⁶	2	120	5 ³
A ₅⁴ D ₄	6	6! ⁴ (2 ³ 4!)	2	24	72
D ₄⁶	6	(2 ³ 4!) ⁶	3	720	4 ³
6 ⁴_{_}	7	7! ⁴	2	12	7 ²
ZA ₇² D ₅²	8	8! ² (2 ⁴ 5!) ²	2	4	32
8 ³_{_}	9	9! ³	2	6	27
A ₉² D ₆	10	10! ² (2 ⁵ 6!)	2	2	20
D ₆⁴	10	(2 ⁵ 6!) ⁴	1	24	16
6 ⁴_{_}	12	(2 ⁷ 3 ⁴ 5) ⁴	2	24	9
A ₁₁ D ₇ E ₆	12	12!(2 ⁶ 7!)(2 ⁷ 3 ⁴ 5)	2	1	12
12 ²_{_}	13	13! ²	2	2	13
8 ³_{_}	14	(2 ⁷ 8!) ³	1	6	8
A ₁₅ D ₉	16	16! (2 ⁸ 9!)	2	1	8
A ₁₇ E ₇	18	18!(2 ¹⁰ 3 ⁴ 5,7)	2	1	6
re ₁₀ mi ₇²	18	(2 ⁹ 10!)(2 ¹⁰ 3 ⁴ 5,7) ²	1	2	4
D ₁₂²	22	(2 ¹¹ 12!) ²	1	2	4
24 _{_}	25	25!	2	1	5
D ₁₆ E ₈	30	(2 ¹⁵ 16!)(2 ¹⁴ 3 ⁵ 5 ² 7)	1	1	2
E ₈³	30	(2 ¹⁴ 3 ⁵ 5 ² 7) ³	1	6	1
D ₂₄	46	2 ²³ 24!	1	1	2

Wykres sąsiedztwa sieci Niemeiera

Jeśli L jest nieparzystą siecią jednomodułową o wymiarze 8 n , a M jest jej podsiecią parzystych wektorów, to M zawiera się dokładnie w 3 sieciach jednomodułowych, z których jedna to L , a dwie pozostałe są parzyste. (Jeśli L ma wektor normy 1, to dwie parzyste kraty są izomorficzne ). Wykres sąsiedztwa Knesera w 8 n wymiarach ma punkt dla każdej parzystej kraty i linię łączącą dwa punkty dla każdego nieparzystego 8 n sieć wymiarowa bez wektorów o normie 1, gdzie wierzchołki każdej linii to dwie parzyste sieci powiązane z nieparzystą siecią. Może istnieć kilka linii między tą samą parą wierzchołków i mogą istnieć linie od wierzchołka do siebie. Kneser udowodnił, że graf ten jest zawsze spójny. W 8 wymiarach ma jeden punkt i nie ma prostych, w 16 wymiarach ma dwa punkty połączone jedną prostą, a w 24 wymiarach jest to następujący wykres:

Każdy punkt reprezentuje jedną z 24 sieci Niemeiera, a łączące je linie reprezentują 24-wymiarowe nieparzyste sieci jednomodułowe bez wektorów o normie 1. (Grube linie reprezentują wiele linii.) Liczba po prawej to liczba Coxetera sieci Niemeiera.

W 32 wymiarach graf sąsiedztwa ma ponad miliard wierzchołków.

Nieruchomości

Niektóre sieci Niemeiera są spokrewnione ze sporadycznymi grupami prostymi . Na kratę Leecha działa podwójne pokrycie grupy Conwaya , a na kraty A ₁²⁴ i A ₂¹² działają grupy Mathieu M ₂₄ i M ₁₂ .

Sieci Niemeiera, inne niż sieć Leecha, odpowiadają głębokim otworom sieci Leecha. Oznacza to, że afiniczne diagramy Dynkina sieci Niemeiera można zobaczyć wewnątrz sieci Leecha, gdy dwa punkty sieci Leecha nie są połączone żadnymi liniami, gdy mają odległość ${\ displaystyle {\ sqrt {4}}}$ o 1 linią $odległość$ jeśli mają odległość $mają$ i podwójną linią, jeśli .

Sieci Niemeiera odpowiadają również 24 orbitom prymitywnych wektorów norm zerowych w parzystej jednomodułowej sieci Lorentza II _25,1 , gdzie sieć Niemeiera odpowiadająca w wynosi w ^⊥ / w .

Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
Conway, J.H .; Sloane, NJA (1998). Opakowania sferyczne, kraty i grupy (wyd. 3). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9 .
Ebeling, Wolfgang (2002) [1994], Kraty i kody , Zaawansowane wykłady z matematyki (poprawiona red.), Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, doi : 10.1007/978-3-322-90014-2 , ISBN 978-3-528-16497-3 , MR 1938666
Niemeier, Hans-Volker (1973). „Definite quadratische Formen der Dimension 24 und Diskriminate 1” (w języku niemieckim) . Dziennik teorii liczb . 5 (2): 142–178. Bibcode : 1973JNT.....5..142N . doi : 10.1016/0022-314X(73)90068-1 . MR 0316384 .
Venkov, BB (1978), „O klasyfikacji integralnych, nawet jednomodułowych, 24-wymiarowych form kwadratowych”, Akademiya Nauk Soyuza Sovetskikh Sotsialisticheskikh Respublik. Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova , 148 : 65–76, ISSN 0371-9685 , MR 0558941 Tłumaczenie angielskie w Conway & Sloane (1998)
Witt, Ernst (1941), "Eine Identität zwischen Modulformen zweiten Grades", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 14 : 323–337, doi : 10.1007/BF02940750 , MR 0005508 , S2CID 1208490 19
Witt, Ernst (1998), Zebrane dokumenty. Gesammelte Abhandlungen , Springer Collected Works in Mathematics , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-41970-6 , ISBN 978-3-540-57061-5 , MR 1643949

Linki zewnętrzne

Katalog krat Uniwersytetu w Akwizgranie