Splajn Akimy

W matematyce stosowanej splajn Akima jest rodzajem splajnu niewygładzającego , który zapewnia dobre dopasowanie krzywych, w których druga pochodna szybko się zmienia. Splajn Akima został opublikowany przez Hiroshi Akima w 1970 roku.

metoda

Biorąc pod uwagę zestaw punktów „węzła” ${\ Displaystyle (x_ {i}, y_ {i}) _ {i = 1 \ kropki n}}$ , gdzie ${ \displaystyle x_{i}}$ są ściśle rosnące, splajn Akima będzie przechodził przez każdy z podanych punktów. W tych punktach jego nachylenie $)$ funkcją położenia punktów ${\ Displaystyle (x_ {i-2}$ przez ${\ Displaystyle (x_ {i + 2}, y_ {i + 2})}$ . W $ja$ , jeśli zdefiniujemy jako nachylenie odcinka linii od ${\ Displaystyle (x_ {i}, y_ {i}$ do ${\ Displaystyle (x_ {i + 1}, y_ {i + 1})}$ , a mianowicie

${\ Displaystyle m_ {i} = {\ Frac {y_ {i + 1} -y_ {i}} {x_ {i + 1} - x_{i}}}\,,}$

następnie nachylenia splajnu $definiowane$$m_ {$ następująca średnia ważona z ${\ Displaystyle$ }

${\ Displaystyle s_ {i} = {\ Frac {| m_ {i + 1} -m_ {i} | m_ {i-1} + | m_ {i-1} -m_ {i-2} | m_ {i }}{|m_{i+1}-m_{i}|+|m_{i-1}-m_{i-2}|}}\,.}$

Jeśli mianownik jest równy zero, nachylenie jest podane jako

${\ Displaystyle s_ {i} = {\ Frac {m_ {i-1} + m_ {i}} {2}} \,.}$

Dwa pierwsze i dwa ostatnie punkty wymagają specjalnego przepisu, np.

${\ Displaystyle s_ {1} = m_ {1} \, s_ {2} = {\ Frac {m_ {1} + m_ {2}} {2}} \, s_ {n-1} = {\ ułamek {m_{n-2}+m_{n-1}}{2}}\,,s_{n}=m_{n-1}\,.}$

$\ displaystyle x_ {i$ następnie definiowany jako odcinkowa funkcja sześcienna, której wartość między i $wielomianem$ sześciennym P $} styl wyświetlania P_{i}(x)}$ ,

${\ Displaystyle P_ {i} (x) = a_ {i}+b_{i}(x-x_{i})+c_{i}(x-x_{i})^{2}+d_{i}(x-x_{i})^{3} \,,}$

gdzie współczynniki wielomianu są tak dobrane, że spełnione są cztery warunki ciągłości splajnu wraz z jego pierwszą pochodną,

${\ Displaystyle P (x_ {i}) = y_ {i} \, P (x_ {i + 1}) = y_ {i + 1} \,, P '(x_ {i}) = s_ {i} \,,P'(x_{i+1})=s_{i+1}\,.}$

co daje

$\ Displaystyle a_ {i} = y_ {i} \,,}$

${\ Displaystyle b_ {i} = s_ {i} \,,}$

${\ Displaystyle c_ {i} = {\ Frac {3m_ {i} -2s_ {i} -s_ {i + 1}} {x_ {i} +1}-x_ {i}}}\,,}$

${\ Displaystyle d_ {i} = {\ Frac {s_ {i} + s_ {i + 1} -2m_ {i}} {(x_ {i + 1} -x_ {i}) ^ {2}}} \ ,.}$

Ze względu na te warunki splajn Akima jest funkcją różniczkowalną C ¹ , to znaczy sama funkcja jest ciągła i pierwsza pochodna jest również ciągła. Jednak na ogół druga pochodna niekoniecznie jest ciągła.

Zaletą splajnu Akima jest to, że przy konstruowaniu współczynników wielomianu interpolacyjnego między dowolnymi dwoma punktami węzłowymi wykorzystuje on tylko wartości z sąsiednich punktów węzłowych. Oznacza to, że nie ma dużego układu równań do rozwiązania, a splajn Akima pozwala uniknąć niefizycznych drgań w obszarach, w których druga pochodna krzywej bazowej szybko się zmienia. Możliwą wadą splajnu Akima jest to, że ma on nieciągłą drugą pochodną.

Linki zewnętrzne

• Demo online interpolacji splajnu Akima w TypeScript