Spleciona algebra Hopfa

W matematyce splatana algebra Hopfa jest algebrą Hopfa w kategorii splatanych monoidów . Najpopularniejszymi splecionymi algebrami Hopfa są obiekty należące do kategorii Yettera – Drinfelda algebry Hopfa H , zwłaszcza algebry Nicholsa splecionej przestrzeni wektorowej w tej kategorii.

Pojęcia tego nie należy mylić z quasi-trójkątną algebrą Hopfa .

Definicja

Niech H będzie algebrą Hopfa nad ciałem k i załóżmy, że antypod H jest bijekcją. Moduł Yettera – Drinfelda R nad H nazywany jest plecioną bialgebrą w kategorii Yettera – Drinfelda ${\ mathcal {YD}}}$ }

• ${\ Displaystyle (R, \ cdot, \ eta)}$ jest jednostkową algebrą asocjacyjną , w której mapa mnożenia ${\ Displaystyle \ cdot: R \ razy R \ do R }$ i jednostka ${\ Displaystyle \ eta: k \ do R}$ to mapy modułów Yettera – Drinfelda,
• $, \ Delta, \ varepsilon)}$${\ Displaystyle \ varepsilon} }$ jest koasocjacyjną koagebra z counit i zarówno ${\ Displaystyle \ varepsilon}$$,$ jak i to mapy modułów Yettera – Drinfelda,
• mapy ${\ Displaystyle \ Delta: R \ do R \ otimes R}$ i ${\ Displaystyle \ varepsilon: R \ to k}$ są mapami algebry w kategorii ${\ Displaystyle {} _ {H} ^ {H} {\ mathcal {YD}}}$ , gdzie struktura algebry ${\ Displaystyle R \ otimes R}$ jest określona przez jednostkę ${\ Displaystyle \ eta \ otimes \ eta (1): k \ do R \ otimes R}$ i mapa mnożenia

${\ Displaystyle (R \ otimes R) \ razy (R \ otimes R) \ do R \ otimes R, \ quad (r \ otimes s, t \ otimes u) \ mapsto \ suma _ {i} rt_ {i} \ otimes s_{i}u,\quad {\text{i}}\quad c(s\otimes t)=\sum _{i}t_{i}\otimes s_{i}.} Tutaj c$

to splot kanoniczny w kategorii Yetter-Drinfeld ${\ Displaystyle {} _ {H} ^ {H} {\ mathcal {YD}}}$ .

Pleciony bialgebra w $nazywany$ plecioną algebrą Hopfa , jeśli istnieje morfizm $:R \ do R}$${$ modułów Yettera-Drinfelda takie, że

${\ Displaystyle S (r ^ {(1)}) r ^ {(2) } = r ^ {(1)} S (r ^ {(2)}) = \ eta (\ varepsilon (r))}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle r \ w R}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Delta _ {R} (r) = r ^ {(1)} \ czasami r ^ {(2)}}$ w nieco zmodyfikowanym Sweedler notacja – dokonuje się zmiany notacji, aby uniknąć zamieszania w poniższym biproduktie Radforda.

Przykłady

• Każda algebra Hopfa jest również splecioną algebrą Hopfa nad ${\ displaystyle H = k}$
• Super algebra Hopfa $_$ spleciona grupową
• T ${\ Displaystyle TV}$ modułu Yettera-Drinfelda V $in {} _ {H} ^ {H} {\ mathcal {YD}}}$ jest zawsze pleciony algebry Hopfa. Koprodukt $\ displaystyle$ V { $TV} jest zdefiniowany w taki sposób$ że elementy V są prymitywne, to

${\ Displaystyle \ Delta (v) = 1 \ otimes v + v \ otimes 1 \ quad {\ tekst {dla wszystkich}} \ quad v \ w V.} Jednostka ε: T V$

→ $: TV \ do k}$ następnie spełnia równanie dla wszystkich $}$$Displaystyle \ varepsilon (v) = 0} {$

• Uniwersalny iloraz $,$$,$ który nadal jest plecioną algebrą Hopfa zawierającą elementy prymitywne nazywany jest algebrą Nicholsa . Pełnią rolę kwantowych algebr Borela w klasyfikacji spiczastych algebr Hopfa, analogicznie jak w klasycznym przypadku algebry Liego.

Produkt uboczny Radforda

Dla dowolnej splecionej algebry Hopfa R w istnieje naturalna algebra Hopfa, która $}$$} ^ {H} {\ mathcal {YD}}$ zawiera R jako podalgebrę i H jako podalgebrę Hopfa. Nazywa się to produktem ubocznym Radforda , nazwany na cześć jego odkrywcy, algebraisty Hopfa, Davida Radforda. Została ponownie odkryta przez Shahna Majida , który nazwał ją bozonizacją .

Jako przestrzeń wektorowa ${\ Displaystyle R \ # H}$ to po prostu ${\ Displaystyle R \ otimes H}$ . Struktura algebry jest dana przez ${\ displaystyle R \ # H}$

${\ Displaystyle (r \ # h) (r'\ # h') = r (h_{(1)}{\boldsymbol {.}}r')\#h_{(2)}h',}$

gdzie ${\ Displaystyle r, r '\ w R, \ quad h, h' \ w H}$ , ${\ Displaystyle \ Delta (h) = h_ {(1)} \ czasami h_ {(2)}}$ ( notacja Sweedlera ) jest koproduktem ${\ displaystyle h \ in H}$ i ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {.}}: H \ czasami R \ do R}$ to lewe działanie H na R . Ponadto produkt uboczny ${\ displaystyle R \ # H}$ jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ Delta (r \ # h) = (r ^ {(1)} \ # r ^ {(2)} _ {(-1)} h_ {(1)}) \ czasami (r ^ {(2)}{}_{(0)}\#h_{(2)}),\quad r\in R,h\in H.}$

Tutaj ${\ Displaystyle \ Delta _ {R} (r) = r ^ {(1)} \ czasami r ^ {(2)}}$ oznacza koprodukt r w R i ${\ Displaystyle \ delta (r ^ {(2)}) = r ^ {(2)} {}_{(-1)}\otimes r^{(2)}{}_{(0)}} jest$ lewą koakcją H na ${\ Displaystyle R ^ {(2)} \ w R.}$

• Andruskiewitsch, Nicolás i Schneider, Hans-Jürgen, Pointed Hopf algebras , Nowe kierunki w algebrach Hopfa, 1–68, Math. nauka Rez. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Prasa, Cambridge, 2002.