Splot logarytmiczny

W matematyce splot skali dwóch funkcji ${\ Displaystyle r ($ r $}$ , znany również jako ich splot logarytmiczny zdefiniowany jako funkcja

${\ Displaystyle s * _ {l} r (t) = r * _ {l} s(t)=\int _{0}^{\infty}s\left({\frac {t}{a}}\right)r(a)\,{\frac {da}{a}}}$

gdy ta ilość istnieje.

Wyniki

${\ Displaystyle v = \ log t}: t {\ displaystyle$ logarytmiczny można powiązać ze splotem zwykłym , zmieniając zmienną z na $t$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s * _ {l} r (t) & = \ int _ {0} ^ {\ infty} s \ lewo ({\ Frac {t} {a}} \ prawej) r (a)\,{\frac {da}{a}}\\&=\int _{-\infty}^{\infty}s\left({\frac {t}{e^{u}}} \right)r(e^{u})\,du\\&=\int _{-\infty }^{\infty }s\left(e^{\log tu}\right)r(e^{ u})\,du.\end{wyrównane}}}$

fa ${\ Displaystyle f (v) = s (e ^ {v})}$ sol $\ Displaystyle g (v) = r (e ^ {v})}$ i niech ${\ Displaystyle v = \ log t}$ , a następnie

${\ Displaystyle s * _ {l} r (v) = f * g (v) = g * f (v) = r * _ {l} s (v).}$

Ten artykuł zawiera materiał ze splotu logarytmicznego na PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .