Sprawny podział bez zazdrości

Efektywność i sprawiedliwość to dwa główne cele ekonomii dobrobytu . Biorąc pod uwagę zestaw zasobów i zestaw agentów, celem jest podział zasobów między agentów w sposób zarówno efektywny w sensie Pareto (PE), jak i wolny od zazdrości (EF). Cel został po raz pierwszy zdefiniowany przez Davida Schmeidlera i Menahema Yaariego . Później istnienie takich przydziałów zostało udowodnione w różnych warunkach.

Istnienie alokacji PEEF

Zakładamy, że każdy agent ma relację preferencji w zbiorze wszystkich wiązek towarów. Preferencje są kompletne, przechodnie i zamknięte. Równoważnie, każda relacja preferencji może być reprezentowana przez ciągłą funkcję użyteczności.

Preferencje słabo wypukłe

Twierdzenie 1 (Varian): Jeśli preferencje wszystkich agentów są wypukłe i silnie monotoniczne , to istnieją alokacje PEEF.

Dowód : Dowód opiera się na istnieniu konkurencyjnej równowagi z równymi dochodami. Załóżmy, że wszystkie zasoby w gospodarce są równo podzielone między agentów. ${\ Displaystyle E_ {i} = E / n}$ znaczy, jeśli całkowite wyposażenie gospodarki wynosi $:$ agent otrzymuje wyposażenie mi $}$ .

Ponieważ preferencje są wypukłe , model Arrowa-Debreu sugeruje, że istnieje równowaga konkurencyjna. ${\ displaystyle$ znaczy, istnieje wektor ceny i taki podział, że: $P }$

(CE) Wszyscy agenci maksymalizują swoją użyteczność przy danym budżecie. To znaczy, jeśli ${\ Displaystyle P \ cdot Y \ równoważnik P \ cdot X_ {i}}$ to ${\ Displaystyle Y \ preceq _ {i} X_ {i}}$ .
(EI) Wszyscy agenci mają ten sam dochód w cenach równowagi: dla wszystkich ${\ Displaystyle i, j: P \ cdot X_ {i} = P \ cdot X_ {j }}$ .

Takim przydziałem jest zawsze EF. Dowód: przez warunek (EI), dla każdego ${\ Displaystyle i, j: P \ cdot X_ {j} \ równoważnik P \ cdot X_ {i}}$ . Stąd, zgodnie z warunkiem (CE), ${\ Displaystyle X_ {j} \ preceq _ {i} X_ {i}}$ .

Ponieważ preferencje są monotoniczne , każda taka alokacja jest również PE, ponieważ monotoniczność implikuje lokalne nienasycenie . Zobacz podstawowe twierdzenia ekonomii dobrobytu .

Przykłady

Wszystkie przykłady dotyczą gospodarki z dwoma dobrami , x i y, oraz dwoma agentami, Alicją i Bobem. We wszystkich przykładach użyteczności są słabo wypukłe i ciągłe.

A. Wiele alokacji PEEF: Całkowite wyposażenie wynosi (4,4). Alicja i Bob mają narzędzia liniowe reprezentujące dobra zastępcze :

{\ Displaystyle u_ {A} (x, y) = 2x + y}

,

{\ Displaystyle u_ {B} ( x,y)=x+2y}

.

Zauważ, że narzędzia są słabo wypukłe i silnie monotoniczne. Istnieje wiele alokacji PEEF. Jeśli Alicja otrzyma co najmniej 3 jednostki x, to jej użyteczność wynosi 6 i nie zazdrości Bobowi. Podobnie, jeśli Bob otrzyma co najmniej 3 jednostki y, nie zazdrości Alicji. Tak więc alokacja [(3,0);(1,4)] to PEEF z użytecznością (6,9). Podobnie alokacje [(4,0);(0,4)] i [(4,0,5);(0,3,5)] to PEEF. Z drugiej strony alokacja [(0,0);(4,4)] to PE, ale nie EF (Alicja zazdrości Bobowi); alokacja [(2,2);(2,2)] to EF, ale nie PE (użyteczności to (6,6), ale można je poprawić np. do (8,8)).

B. Zasadniczo pojedynczy przydział PEEF: Całkowite wyposażenie wynosi (4,2). Alicja i Bob mają narzędzia Leontiefa reprezentujące dobra komplementarne :

{\ Displaystyle u_ {A} (x, y) = u_ {B} (x, y) = \ min (x, y)}

.

Zauważ, że narzędzia są słabo wypukłe i tylko słabo monotoniczne. Nadal Alokacja PEEF istnieje. Równa alokacja [(2,1);(2,1)] to PEEF z wektorem użyteczności (1,1). EF jest oczywiste (każdy równy przydział to EF). Jeśli chodzi o PE, zauważ, że obaj agenci chcą teraz tylko y, więc jedynym sposobem na zwiększenie użyteczności agenta jest zabranie trochę y drugiemu agentowi, ale to zmniejsza użyteczność drugiego agenta. Chociaż istnieją inne alokacje PEEF, np. [(1.5,1);(2.5,1)], wszystkie mają ten sam wektor użyteczności (1,1), ponieważ nie jest możliwe przypisanie obu agentom więcej niż 1.

Warunki topologiczne na przestrzeni alokacji efektywnych

Alokacje PEEF istnieją nawet wtedy, gdy preferencje agentów nie są wypukłe. Istnieje kilka warunków wystarczających, które są związane z kształtem zbioru przydziałów odpowiadającego określonemu profilowi efektywnej użyteczności. Biorąc pod uwagę wektor użyteczności u, zdefiniuj A(u) = zbiór wszystkich alokacji, dla których profilem użyteczności jest u. Następujące kolejno bardziej ogólne twierdzenia zostały udowodnione przez różnych autorów:

Twierdzenie 2 (Varian): Załóżmy, że preferencje wszystkich agentów są silnie monotonne . Jeśli dla każdego o słabej efektywności Pareto zbiór A(u) jest singletonem (tj. nie ma dwóch alokacji WPE takich, że wszyscy agenci są między nimi obojętni), to alokacje PEEF istnieją.

Dowód wykorzystuje lemat Knastera-Kuratowskiego-Mazurkiewicza .

Uwaga : Warunki w Twierdzeniu 1 i Twierdzeniu 2 są niezależne — żaden z nich nie implikuje drugiego. Jednak ścisła wypukłość preferencji implikuje jedno i drugie. Jest oczywiste, że ścisła wypukłość implikuje słabą wypukłość (twierdzenie 1). Aby zobaczyć, że implikuje to warunek twierdzenia 2, załóżmy, że istnieją dwie różne alokacje x,y o tym samym profilu użyteczności u. Zdefiniuj z = x/2+y/2. Dzięki ścisłej wypukłości wszyscy agenci ściśle preferują z od x i od y. Stąd x i y nie mogą być słabo PE.

Twierdzenie 3 (Svensson): Jeśli preferencje wszystkich agentów są silnie monotoniczne i dla każdego profilu użyteczności PE u zbiór A(u) jest wypukły, to istnieją alokacje PEEF.

Dowód wykorzystuje twierdzenie Kakutaniego o punkcie stałym .

Uwaga : jeśli wszystkie preferencje agentów są wypukłe (jak w twierdzeniu 1), to A(u) jest oczywiście wypukłe. Co więcej, jeśli A(u) jest singletonem (jak w twierdzeniu 2), to oczywiście jest również wypukłe. Stąd twierdzenie Svenssona jest bardziej ogólne niż oba twierdzenia Variana.

Twierdzenie 4 (Diamantaras): Jeśli preferencje wszystkich agentów są silnie monotoniczne i dla każdego profilu użyteczności PE u, zbiór A(u) jest przestrzenią kurczliwą (może być w sposób ciągły zmniejszany do punktu w tej przestrzeni), to alokacje PEEF istnieć.

Dowód wykorzystuje twierdzenie o punkcie stałym autorstwa Eilenberga i Montgomery'ego.

Uwaga: Każdy zbiór wypukły jest kurczliwy, więc twierdzenie Diamantarasa jest bardziej ogólne niż trzy poprzednie.

Sigma-optymalność

Svensson udowodnił kolejny warunek wystarczający istnienia alokacji PEEF. Ponownie wszystkie preferencje są reprezentowane przez ciągłe funkcje użyteczności. Co więcej, wszystkie funkcje użytkowe są różniczkowalne w sposób ciągły we wnętrzu przestrzeni konsumpcyjnej.

Główną koncepcją jest sigma-optymalność . Załóżmy, że tworzymy dla każdego agenta k kopii z identycznymi preferencjami. Niech X będzie alokacją w pierwotnej ekonomii. Niech Xk będzie alokacją w k-replikowanej ekonomii, w której wszystkie kopie tego samego agenta otrzymują ten sam pakiet, co oryginalny agent w X. Alokacja X jest nazywana sigma-optymalną , jeśli dla każdego k alokacja Xk jest Pareto-optymalna.

Lemat: Alokacja jest sigma-optymalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równowagą konkurencyjną .

Twierdzenie 5 (Svensson): jeśli wszystkie alokacje optymalne w sensie Pareto są sigma-optymalne, to istnieją alokacje PEEF.

Rosnące krańcowe zyski

Alokacje PEEF mogą nie istnieć nawet wtedy, gdy wszystkie preferencje są wypukłe, jeśli istnieje produkcja i technologia ma rosnące krańcowe zyski.

Twierdzenie 6 (Vohra) : Istnieją gospodarki, w których wszystkie preferencje są ciągłe, silnie monotoniczne i wypukłe, jedynym źródłem braku wypukłości w technologii są koszty stałe i nie istnieje alokacja PEEF.

Zatem obecność rosnących zwrotów wprowadza fundamentalny konflikt między wydajnością a sprawiedliwością.

Wolność od zawiści można jednak osłabić w następujący sposób. Alokacja X jest zdefiniowana jako zasadniczo wolna od zazdrości (EEF) , jeśli dla każdego agenta i istnieje wykonalna alokacja Yi o tym samym profilu użyteczności (wszyscy agenci są obojętni między X i Yi), w której agent i nie zazdrości nikomu. Oczywiście każda alokacja EF jest EEF, ponieważ możemy przyjąć, że Yi jest X dla wszystkich i.

Twierdzenie 7 (Vohra): Załóżmy, że wszystkie preferencje agentów są silnie monotoniczne i reprezentowane przez ciągłe funkcje użyteczności. Istnieją zatem efektywne w sensie Pareto alokacje EEF.

Brak alokacji PEEF

Preferencje niewypukłe

Alokacje PEEF mogą nie istnieć nawet bez produkcji, gdy preferencje nie są wypukłe.

Załóżmy na przykład, że całkowite wyposażenie wynosi (4,2), a Alicja i Bob mają identyczne narzędzia wklęsłe:

{\ Displaystyle u_ {A} (x, y) = u_ {B} (x, y) = \ max (x, y)}

.

Równa alokacja [(2,1);(2,1)] to EF z wektorem użyteczności (2,2). Co więcej, każda alokacja EF musi dawać obu agentom równą użyteczność (ponieważ mają tę samą funkcję użyteczności), a użyteczność ta może wynosić co najwyżej 2. Jednak żadna taka alokacja nie jest PE, ponieważ jest zdominowana przez alokację Pareto [(4, 0);(0,2)], którego wektorem użyteczności jest (4,2).

Nieistnienie pozostaje, nawet jeśli osłabimy wolność od zazdrości do braku dominacji – żaden agent nie otrzyma więcej każdego dobra niż inny agent.

Twierdzenie 8 (Maniquet): Istnieją 2-dobre 3-agentowe gospodarki podziału o ściśle monotonicznych, ciągłych, a nawet różniczkowalnych preferencjach, w których istnieje dominacja przy każdej efektywnej alokacji Pareto.

Znalezienie alokacji PEEF

W przypadku dwóch agentów procedura skorygowanego zwycięzcy jest prostą procedurą, która znajduje alokację PEEF z dwiema dodatkowymi właściwościami: alokacja jest również sprawiedliwa i co najwyżej jedno dobro jest dzielone między dwóch agentów.

W przypadku trzech lub więcej agentów z użytecznością liniową każda alokacja optymalna Nasha to PEEF. Alokacja optymalna Nasha to alokacja, która maksymalizuje iloczyn użyteczności agentów lub równoważnie sumę logarytmów użyteczności. Znalezienie takiej alokacji jest wypukłym problemem optymalizacji :

${\ Displaystyle {\ tekst {maksymalizuj}} \ suma _ {i = 1} ^ { n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~{\text{tak że}}~~~(X_{1},\ldots ,X_{n})~~~{\text {jest partycją}}~~~}$ .

i w ten sposób można go skutecznie znaleźć. Fakt, że każda alokacja optymalna Nasha to PEEF, jest prawdziwy nawet w bardziej ogólnym ustawieniu sprawiedliwego krojenia tortu .

Dowód : Rozważmy nieskończenie mały kawałek ciasta, Z . Dla każdego agenta i nieskończenie mały wkład Z w $Displaystyle \ log (u_ {i} (X_ {i}))}$ \

${\ Displaystyle u_ {i} (Z) \ cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \ponad d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i}(Z) \ponad u_{i}(X_{ i})}}$ .

Dlatego optymalna reguła Nasha przypisuje każdemu takiemu elementowi Z agentowi j , dla którego to wyrażenie jest największe:

${\ Displaystyle \ forall j \ in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i} (Z) \nad u_{i}(X_{i})}}$

Sumując wszystkie nieskończenie małe podzbiory X _j , otrzymujemy:

${\ Displaystyle \ forall ja, j \ w [n]: {u_ {j}(X_{j}) \ponad u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(X_{j}) \ponad u_{i}(X_{i})}}$

Oznacza to definicję alokacji wolnej od zazdrości:

${\ Displaystyle \ forall i, j \ w [n]: {u_ {i} (X_ {i})} \ geq {u_{i}(X_{j})}}$

Zobacz też

Twierdzenie Wellera - o istnieniu alokacji PEEF w krojeniu ciasta.
Więcej powiązanych twierdzeń Hala Variana można znaleźć w.
Twierdzenia o alokacjach PEEF w gospodarkach z produkcją można znaleźć w.
Obliczanie równowagi rynkowej - algorytmy obliczania równowagi konkurencyjnej, która jest zarówno sprawiedliwa, jak i efektywna.
Tao i Cole badają istnienie losowych alokacji PEEF, gdy użyteczności są nieliniowe (mogą mieć dopełnienia).
Diamantaras i Thomson badają udoskonalenie i rozszerzenie wolności od zawiści, które istnieje (wraz z PE) w wielu gospodarkach, w których nie istnieje alokacja PEEF.