Podstawowe twierdzenia ekonomii dobrobytu

Istnieją dwa podstawowe twierdzenia ekonomii dobrobytu . Pierwsza mówi, że w równowadze ekonomicznej zestaw kompletnych rynków z kompletną informacją i doskonała konkurencja będą optymalne w sensie Pareto (w tym sensie, że żadna dalsza wymiana nie poprawi sytuacji jednej osoby bez pogorszenia sytuacji innej). Wymagania doskonałej konkurencji są następujące:

1. Nie ma efektów zewnętrznych , a każdy aktor ma doskonałe informacje .
2. Firmy i konsumenci przyjmują ceny jako dane (żaden podmiot gospodarczy ani grupa podmiotów nie ma siły rynkowej ).

Twierdzenie to jest czasami postrzegane jako analityczne potwierdzenie zasady „ niewidzialnej ręki ” Adama Smitha , a mianowicie, że konkurencyjne rynki zapewniają efektywną alokację zasobów . Jednak nie ma gwarancji, że optymalny wynik rynkowy w sensie Pareto jest społecznie pożądany, ponieważ istnieje wiele możliwych efektywnych w sensie Pareto alokacji zasobów różniących się pod względem ich pożądania (np. jedna osoba może posiadać wszystko, a wszyscy inni nic).

Drugie twierdzenie stwierdza, że ​​każde optimum Pareto może być wspierane jako równowaga konkurencyjna dla pewnego początkowego zestawu wyposażenia . Implikacją jest to, że każdy pożądany wynik optymalny w sensie Pareto może być wspierany; Efektywność Pareto można osiągnąć za pomocą dowolnej redystrybucji początkowego bogactwa. Jednak próby skorygowania dystrybucji mogą wprowadzać zniekształcenia, a zatem pełna optymalność może nie być osiągalna przy redystrybucji.

Twierdzenia można zwizualizować graficznie dla prostej czystej gospodarki wymiennej za pomocą diagramu pudełkowego Edgewortha .

Historia podstawowych twierdzeń

Adama Smitha (1776)

W dyskusji na temat ceł importowych Adam Smith napisał, że:

Każda jednostka z konieczności pracuje nad tym, aby roczny dochód społeczeństwa był jak największy… W tym, jak i na wiele innych sposobów, jest prowadzony przez niewidzialną rękę, aby promować cel, który nie był częścią jego intencji… Kierując się własnym interesem, często skuteczniej promuje interes społeczeństwa, niż wtedy, gdy rzeczywiście zamierza go promować.

Należy zauważyć, że idee Smitha nie były ukierunkowane konkretnie na ekonomię dobrobytu, ponieważ ta dziedzina ekonomii nie została wówczas utworzona. Jednak jego argumenty zostały przypisane stworzeniu gałęzi, a także fundamentalnym teoriom ekonomii dobrobytu.

Leon Walras (1870)

Walras pisał, że „wymiana w warunkach wolnej konkurencji jest operacją, dzięki której wszystkie strony uzyskują maksymalne zadowolenie pod warunkiem kupna i sprzedaży po jednolitej cenie”.

FY Edgeworth (1881)

Edgeworth zrobił krok w kierunku pierwszego fundamentalnego twierdzenia w swojej „Mathematical Psychics”, patrząc na czystą gospodarkę wymienną bez produkcji. W swojej analizie uwzględnił konkurencję niedoskonałą. Jego definicja równowagi jest prawie taka sama, jak późniejsza definicja optymalności Pareto: jest to taki punkt, że...

w jakimkolwiek kierunku zrobimy nieskończenie mały krok, P i Π [użyteczność kupującego i sprzedającego] nie rosną razem, ale podczas gdy jedna rośnie, druga maleje.

Zamiast stwierdzić, że równowaga była optymalna w sensie Pareto, Edgeworth doszedł do wniosku, że równowaga maksymalizuje sumę użyteczności stron, co jest szczególnym przypadkiem efektywności Pareto:

Wydaje się, że wynika to z ogólnych zasad dynamicznych zastosowanych w tym szczególnym przypadku, że równowaga zostaje osiągnięta, gdy całkowita energia przyjemności kontrahentów jest maksymalna w stosunku do warunków lub podlega warunkom ...

Vilfredo Pareto (1906/9)

Pareto sformułował pierwsze fundamentalne twierdzenie w swoim Podręczniku (1906) iz większym rygorem we francuskiej wersji ( Manuel , 1909). Był pierwszym, który twierdził optymalność według własnego kryterium lub wspierał to twierdzenie przekonującymi argumentami.

Definiuje równowagę bardziej abstrakcyjnie niż Edgeworth jako stan, który utrzymywałby się w nieskończoność przy braku zewnętrznych nacisków i pokazuje, że w gospodarce wymiennej jest to punkt, w którym wspólna styczna do krzywych obojętności stron przechodzi przez wyposażenie.

Jego definicja optymalności jest podana w rozdz. VI:

Powiemy, że członkowie zbiorowości cieszą się maksimum ofelimity [tj. zmniejsza się. [Wcześniej zdefiniował wzrost indywidualnej ofelimity jako przejście na wyższą krzywą obojętności.] Oznacza to, że każdy mały krok musi zwiększyć ofelimity niektórych osób, jednocześnie zmniejszając innych.

Poniższy akapit daje nam twierdzenie:

Dla zjawisk typu I [tj. doskonałej konkurencji], gdy równowaga zachodzi w punkcie styczności krzywych obojętności, członkowie zbiorowości cieszą się maksimum nieprzezroczystości.

Dodaje, że „nie da się przeprowadzić rygorystycznego dowodu bez pomocy matematyki” i odsyła do swojego Dodatku.

Wicksell , odnosząc się do swojej definicji optymalności, skomentował:

Przy takiej definicji jest prawie oczywiste, że to tzw . potrzeby uczestników, to w takim stopniu taka ciągła wymiana bez wątpienia miałaby miejsce, a początkowa pozycja nie mogłaby być równowagą końcową.

Pareto nie uważał tego za takie proste. W swoim tekście podaje schematyczny argument, odnoszący się wyłącznie do wymiany, oraz 32-stronicowy argument matematyczny w Dodatku, który Samuelson uznał za „niełatwy do naśladowania”. Pareto był utrudniony przez brak koncepcji granicy możliwości produkcji , której rozwój był częściowo spowodowany jego współpracownikiem Enrico Barone . Wydaje się, że jego własne „krzywe obojętności dla przeszkód” były fałszywą ścieżką.

Wkrótce po sformułowaniu pierwszego fundamentalnego twierdzenia Pareto zadaje pytanie dotyczące dystrybucji:

Rozważmy społeczeństwo kolektywistyczne, które dąży do maksymalizacji nieskończoności swoich członków. Problem dzieli się na dwie części. Po pierwsze, mamy problem z dystrybucją: w jaki sposób dobra w społeczeństwie powinny być dzielone między jego członków? A po drugie, jak należy zorganizować produkcję, aby przy takim podziale dóbr członkowie społeczeństwa uzyskali maksymalną przejrzystość?

Jego odpowiedź jest nieformalnym prekursorem drugiego twierdzenia:

Dystrybuując dobra zgodnie z rozwiązaniem pierwszego problemu, państwo powinno zezwolić członkom zbiorowości na prowadzenie drugiej dystrybucji lub samodzielne jej prowadzenie, w każdym przypadku upewniając się, że odbywa się to zgodnie z zasadami wolnej konkurencji.

Enrico Barone (1908)

Barone , współpracownik Pareto, udowodnił właściwość konkurencji doskonałej polegającą na tym, że przy założeniu cen egzogenicznych maksymalizuje ona wartość pieniężną zwrotu z działalności produkcyjnej, będącą sumą wartości czasu wolnego, oszczędności i dóbr konsumpcyjnych , wszystko w pożądanych proporcjach. Nie argumentuje, że ceny wybrane przez rynek są same w sobie optymalne.

Jego artykuł został przetłumaczony na język angielski dopiero w 1935 roku. Otrzymał aprobujące streszczenie od Samuelsona, ale wydaje się, że nie wpłynął na rozwój twierdzeń o dobrobycie w ich obecnym kształcie.

Abba Lerner (1934)

W 1934 roku Lerner powtórzył warunek wymiany Edgewortha, zgodnie z którym krzywe obojętności powinny spotykać się jako styczne, przedstawiając to jako właściwość optymalności. Postawił podobny warunek dla produkcji, a mianowicie, że granica możliwości produkcji ( PPF , której nadał alternatywną nazwę „krzywej produktywnej obojętności”), powinna być styczna z krzywą obojętności dla wspólnoty. Był jednym z pomysłodawców PPF, użył go w artykule na temat handlu międzynarodowego w 1932 r. Pokazuje, że oba argumenty można przedstawić w tych samych kategoriach, ponieważ PPF pełni tę samą rolę, co lustrzana krzywa obojętności w pudełku Edgewortha. Wspomina również, że nie ma potrzeby, aby krzywe były różniczkowalne, ponieważ ten sam wynik uzyskuje się, gdy stykają się one w ostrych rogach.

Jego definicja optymalności była równoważna z definicją Pareto:

Jeśli… możliwe jest przesunięcie jednego osobnika na preferowaną pozycję bez przesuwania innego osobnika na gorszą pozycję… możemy powiedzieć, że względne optimum nie zostało osiągnięte…

Warunek optymalności produkcji jest równoważny parze wymagań, że (i) cena powinna być równa kosztowi krańcowemu oraz (ii) produkcja powinna być maksymalizowana z zastrzeżeniem (i). W ten sposób Lerner redukuje optymalność do styczności zarówno dla produkcji, jak i wymiany, ale nie mówi, dlaczego domniemany punkt PPF powinien być warunkiem równowagi dla wolnego rynku. Być może uważał, że jest już wystarczająco dobrze ugruntowany.

Lerner przypisuje swojemu koledze z LSE, Victorowi Edelbergowi, zasługę za zasugerowanie użycia krzywych obojętności. Samuelson przypuszczał, że Lerner uzyskał swoje wyniki niezależnie od pracy Pareto.

Harolda Hotellinga (1938)

Hotelling przedstawił nowy argument, aby wykazać, że „sprzedaż po kosztach krańcowych jest warunkiem maksymalnego ogólnego dobrobytu” (zgodnie z definicją Pareto). Przyjął, że warunek ten jest spełniony przez doskonałą konkurencję, ale w konsekwencji argumentował, że doskonała konkurencja nie może być optymalna, ponieważ niektóre korzystne projekty nie byłyby w stanie odzyskać swoich kosztów stałych, pobierając według tej stawki (na przykład w monopolu naturalnym ).

Oscar Lange (1942)

Lange „The Foundations of Welfare Economics” jest źródłem tradycyjnego już połączenia dwóch twierdzeń, jednego rządzącego rynkami, drugiego dotyczącego dystrybucji. Uzasadnił definicję optymalności Pareto dla pierwszego twierdzenia, odwołując się do Lionela Robbinsa odrzucił międzyludzkie porównania użyteczności i zasugerował różne sposoby ponownego wprowadzenia porównań międzyludzkich dla drugiego twierdzenia, takich jak orzeczenia demokratycznie wybranego Kongresu. Lange uważał, że taki kongres mógłby działać podobnie jak kapitalista: poprzez ustalanie wektorów cen mógłby zrealizować dowolny optymalny plan produkcji, aby osiągnąć wydajność i równość społeczną.

Jego rozumowanie jest matematycznym tłumaczeniem (na mnożniki Lagrange'a ) graficznego argumentu Lernera. Drugie twierdzenie nie przybiera w jego rękach swojej znanej postaci; raczej po prostu pokazuje, że warunki optymalizacji dla prawdziwej funkcji użyteczności społecznej są podobne do tych dla optymalności Pareto.

Abram Bergson i Paul Samuelson (1947)

Samuelson (przypisując Abramowi Bergsonowi istotę jego idei) doprowadził drugie twierdzenie Lange'a o dobrobycie do mniej więcej współczesnej postaci. Idąc za Lange, wyprowadza zestaw równań, które są niezbędne do osiągnięcia optymalności w sensie Pareto, a następnie rozważa, jakie dodatkowe ograniczenia pojawiają się, jeśli gospodarka ma spełniać rzeczywistą funkcję dobrobytu społecznego, znajdując kolejny zestaw równań, z którego wynika, że ​​„wszystkie działanie niezbędne do osiągnięcia danego dezyderatu etycznego może przybrać formę podatków ryczałtowych lub bonifikat” .

Kenneth Arrow i Gérard Debreu (oddzielnie, 1951)

Arrowa i Debreu (napisane niezależnie i opublikowane prawie jednocześnie) miały na celu poprawę rygoru pierwszego twierdzenia Langego. Ich rachunki odnoszą się zarówno do produkcji (krótkookresowej), jak i do wymiany, wyrażając warunki obu za pomocą funkcji liniowych.

Równowaga produkcji jest wyrażona przez ograniczenie, że wartość produkcji netto producenta, tj. iloczyn skalarny wektora produkcji z wektorem ceny, powinna być maksymalizowana w zbiorze produkcji producenta . Jest to interpretowane jako maksymalizacja zysku . Maksymalna produkcja firmy, podobnie jak całej gospodarki, zostanie osiągnięta tylko wtedy, gdy niewidzialna ręka poprowadzi pracowników, z których każdy szuka własnej satysfakcji, do promowania celu, który nie jest częścią ich intencji; więc podobnie jak Lerner, Arrow i Debreu polegali na potężnej przesłance (w ich przypadku zawartej w definicjach), aby wykonać większość pracy.

Równowaga wymiany jest interpretowana w ten sposób, że użyteczność jednostki powinna być maksymalizowana nad pozycjami, które można uzyskać z wyposażenia w drodze wymiany, czyli pozycjami, których wartość nie jest większa niż wartość jej wyposażenia, gdzie wartość przydziału jest jego iloczyn kropkowy z wektorem ceny.

Pojęcie równowagi jest zatem przekształcone jako oznaczające optymalność wzdłuż prostej linii ceny. To nowe znaczenie otrzymało specjalną nazwę „walrasa” lub „ równowaga konkurencyjna ” i nie jest prawdziwym warunkiem równowagi w sensie bycia równowagą sił.

Dowody Arrowa i Debreu wymagały zmiany stylu matematycznego z rachunku różniczkowego na wypukłą teorię mnogości. Arrow motywował swój artykuł, odwołując się do potrzeby rozszerzenia dowodów w celu objęcia równowag na krawędzi przestrzeni, a Debreu możliwością nieróżniczkowalności krzywych obojętności. Współczesne teksty podążają za ich stylem dowodu.

Twierdzenie Greenwalda-Stiglitza

W swoim artykule z 1986 r. „Externalities in Economies with Imperfect Information and Incomplete Markets” Bruce Greenwald i Joseph Stiglitz wykazali, że podstawowe twierdzenia o dobrobycie nie mają zastosowania, jeśli istnieją niekompletne rynki lub niedoskonałe informacje. W artykule ustalono, że równowaga konkurencyjna gospodarki z asymetryczną informacją nie jest ogólnie nawet ograniczona efektywnością Pareto. Rząd borykający się z tymi samymi ograniczeniami informacyjnymi, co osoby prywatne w gospodarce, może jednak znaleźć interwencje polityczne poprawiające Pareto.

Greenwald i Stiglitz odnotowali kilka istotnych sytuacji, w tym to, w jaki sposób pokusa nadużycia może sprawić, że sytuacja stanie się nieefektywna (np. podatek od alkoholu może poprawić pareto, ponieważ zmniejsza liczbę wypadków samochodowych).

Dowód pierwszego podstawowego twierdzenia

Pierwsze podstawowe twierdzenie obowiązuje w warunkach ogólnych. Formalne stwierdzenie jest następujące: Jeśli preferencje są lokalnie nienasycone i if ${\ Displaystyle (\ mathbf {X ^ {*}} \ mathbf {Y ^ {*}} \ mathbf {p} )}$ jest równowagą cenową z transferami, to alokacja jest optymalna w sensie Pareto ${\ Displaystyle (\ mathbf {X ^ {*}}, \ mathbf {Y ^ {*}}}}}$ . Równowaga w tym sensie odnosi się albo tylko do gospodarki wymiennej, albo zakłada, że ​​firmy są efektywne alokacyjnie i produkcyjnie, co można wykazać na podstawie doskonale konkurencyjnych rynków czynników produkcji i produkcji.

Biorąc pod uwagę zestaw rodzajów towarów, pracujemy w rzeczywistej przestrzeni wektorowej nad , $\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {G}} i używamy pogrubionej czcionki$${$ zmiennych o wartościach wektorowych sol {\ displaystyle $}$ . Na przykład, jeśli ${\ Displaystyle G = \ lbrace {\ tekst {masło}}, {\ tekst {ciasteczka}}, {\ tekst {mleko}} \ rbrace}$ to ${ \displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$ byłaby trójwymiarową przestrzenią wektorową, a wektor $1$ , 2 jednostki ciastek i 3 mleko.

Załóżmy, że konsument i ma bogactwo takie, że $i} = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {e} + \ Sigma _ {j} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {y_ {j} ^ {*}}} gdzie mi {\ Displaystyle \ mathbf {$$Σ$ e $}$ jest zagregowane wyposażenie dóbr (tj. suma wszystkich wyposażenia konsumenta i producenta) oraz ${\ Displaystyle \ mathbf {y_ {j} ^ {*}}}$ to produkcja firmy j .

Maksymalizacja preferencji (z definicji równowagi cenowej z transferami) implikuje (używając $:$ relacji preferencji dla konsumenta i )

jeśli ${\ Displaystyle \ mathbf {x_ {i}} > _ {i} \ mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ wtedy ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >\mathbf {w_{i}} }$

Innymi słowy, jeśli pakiet towarów jest zdecydowanie $,$ musi $.$ Lokalne nienasycenie dodatkowo implikuje:

jeśli ${\ Displaystyle \ mathbf {x_ {i}} \ geq _ {i} \ mathbf {x_ {i} ^ {*}}} wtedy$ p $\ Displaystyle \ mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} \geq \mathbf {w_{i}} }$

Aby zobaczyć $_$${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x_ {i}} <w_ {i}}$ . $Displaystyle \ mathbf {x'_ {i}}}$ przez lokalne nienasycenie moglibyśmy znaleźć dowolnie blisko $\$ (a więc nadal niedrogie), ale co jest zdecydowanie preferowane niż ${\ Displaystyle \ mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ . Ale $.$ wynikiem maksymalizacji preferencji, więc jest

Alokacja to para $∈ Π$ gdzie $ja \ w ja} \ mathbb {R} ^ {G}}$$\ Displaystyle \ mathbf {X} \$ i $\ Displaystyle \ mathbf {Y} \ in \ Pi _ {j \ w J} \ mathbb {R} ^ { G}}$ , tj. ${\ Displaystyle \ mathbf {X}}$ jest „macierzą” (pozwalającą na potencjalnie nieskończoną liczbę wierszy / kolumn), której i-tą kolumną jest wiązka towarów przydzielonych konsumentowi i , $macierzą$ jest „ ”, której j- tą kolumną jest produkcja firma j . Ograniczamy naszą uwagę do możliwych alokacji, czyli takich alokacji, w których żaden konsument nie sprzedaje lub producent nie konsumuje dóbr, których im brakuje, tj. dla każdego dobra i każdego konsumenta początkowe wyposażenie konsumenta plus jego popyt netto muszą być dodatnie, podobnie dla producentów.

Rozważmy teraz alokację , w której dominuje Pareto $}$$Y ∗ )$ . Oznacza to, że $}}}$ geq _ {i} mathbf {x_ { i} ^ { ${\ Displaystyle \ mathbf {x_ {i}} > _ {i} \ mathbf {x_ {i} ^ {*}}}$ dla niektórych ja . $,$ powyższego wiemy $_ \displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {x_{i}} >w_{i}}$ dla ja dla pewnego i . Sumując, znajdujemy:

${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x_ {i}} > \ ​​Sigma _ {i} w_{i}=\Sigma _{j}\mathbf {p} \cdot \mathbf {y_{j}^{*}} }$ .

Ponieważ maksymalizacja $zysku$ jest maksymalizacja zysku, wiemy ${p} \cdot y_{j}^{*}\geq \Sigma _{j}p\cdot y_{j}}$ , więc ${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x_ {i}} > \ ​​Sigma _ {j} \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {y_ {j}}}$ . Ale dobra muszą być konserwowane, więc ${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} \ mathbf {x_ {i}} > \ ​​Sigma _ {j} \ mathbf {y_ {j}}}$ . Dlatego ${\ Displaystyle (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y})}$ nie jest wykonalne. Ponieważ wszystkie alokacje z dominacją Pareto nie są wykonalne, ${\ Displaystyle (\ mathbf {X ^ {*}}, \ mathbf {Y ^ {*}})}$ sam musi być optymalny w sensie Pareto.

Zauważ, że chociaż fakt, że maksymalizuje zysk $,$ jest po prostu zakładany w twierdzeniu, wynik jest użyteczny / interesujący tylko w zakresie, w jakim taka alokacja produkcji jest możliwe. Na szczęście dla dowolnego ograniczenia alokacji produkcji $podzbioru,$ na którym cena krańcowa jest ograniczona od 0, np. dowolny rozsądny wybór funkcji sparametryzować możliwe produkcje, takie maksimum istnieje. Wynika to z faktu, że minimalna cena krańcowa i skończone bogactwo ograniczają maksymalną wykonalną produkcję (0 ogranicza minimum) oraz Twierdzenie Tychonowa zapewnia, że ​​iloczyn tych zwartych przestrzeni jest zwarty, zapewniając nam maksimum dowolnej funkcji ciągłej, której pragniemy.

Dowód drugiego podstawowego twierdzenia

Drugie twierdzenie formalnie stwierdza, że ​​przy założeniu, że każdy zbiór produkcyjny $jest$$,$ każda relacja jest i lokalnie nienasycona , każdy pożądany Alokacja efektywna w sensie Pareto może być obsługiwana jako quasi -równowaga cenowa z transferami. Potrzebne są dalsze założenia, aby udowodnić to stwierdzenie dla równowag cenowych z transferami.

Dowód przebiega w dwóch krokach: po pierwsze, udowadniamy, że każda alokacja efektywna w sensie Pareto może być obsługiwana jako quasi-równowaga cenowa z transferami; wówczas podajemy warunki, w których quasi-równowaga cenowa jest również równowagą cenową.

Zdefiniujmy quasi-równowagę cenową z transferami jako alokacją ( , wektorem cen p ${\ Displaystyle (x ^ {*}, y ^ {$ poziomów w } Σ ${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} w_ {i} = p \ cdot \ omega + \ Sigma _ {$ (gdzie ${\ Displaystyle \ omega}$ to zagregowane wyposażenie dóbr i jest produkcją firmy j ) taką, że: ${\ Displaystyle y_ {j} ^ {*}}$

I. ${\ Displaystyle p \ cdot y_ {j} \ równoważnik p \ cdot y_ {j} ^ {*}}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle y_ {j} \ w Y_ {j}}$ (firmy maksymalizują zysk, produkując ${\ Displaystyle y_ {j} ^ {*}}$ )

ii. Dla wszystkich ja , jeśli ${\ Displaystyle x_ {i}> _ {i} x_ {i} ^ {*}}$ to ${$$} ^ {*}}$ \ Displaystyle $}$ to nie może kosztować mniej niż ${\ Displaystyle x_ {i} ^ {*}}$ )

iii. ${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*} = \ omega + \ Sigma _ {j} y_ {j} ^ {*}} (ograniczenie budżetowe spełnione$ )

Jedyna różnica między tą definicją a standardową definicją równowagi cenowej z transferami jest w stwierdzeniu ( ii ). Nierówność jest tutaj słaba ( ${\ Displaystyle p \ cdot x_ {i} \ geq w_ {i}} ), co$ czyni ją quasi-równowagą cenową. Później wzmocnimy to, aby uzyskać równowagę cenową. Zdefiniuj $.$ zbiór wszystkich $przez$ ściśle ja i $będzie$ V sumą . ${\ Displaystyle V_ {i}}$ jest wypukła ze względu na wypukłość relacji preferencji ${\ Displaystyle \ geq _ {i}}$ . V jest wypukła $,$ ponieważ każdy . Podobnie ${\ Displaystyle Y + \ {\ omega \}}$ , połączenie wszystkich zestawów produkcyjnych ${\ Displaystyle Y_ {i}}$$wypukły$ zagregowane wyposażenie jest wypukłe, ponieważ każdy . Wiemy również, że przecięcie V i musi być puste, ponieważ ${\ Displaystyle (x ^ {*}, y ^ {*})}$$że$ istnieje pakiet, który jest ściśle przez wszystkich i jest również przystępny cenowo. Wyklucza to optymalność Pareto z ${\ Displaystyle (x ^ {*}, y ^ {*})$ }

Te dwa wypukłe, nieprzecinające się zbiory pozwalają nam zastosować twierdzenie o hiperpłaszczyznach rozdzielających . Twierdzenie to stwierdza, że ​​istnieje wektor ceny $\ w V}$ liczba r taka, że $\$$Displaystyle p \ cdot z \ geq r}$ dla każdego $Displaystyle p \ neq 0$ i ${\ Displaystyle p \ cdot z \ równoważnik r}$ dla każdego ${\ Displaystyle Z \ w Y + \ {\ omega \}}$ . Innymi słowy, istnieje wektor ceny, który definiuje hiperpłaszczyznę, która doskonale oddziela dwa zbiory wypukłe.

Następnie argumentujemy $_ styl wyświetlania p\cdot (\Sigma _{i}x_{i})\geq r}$$\$ wszystkich ja . $Wynika$ to z lokalnego nienasycenia: musi istnieć wiązka arbitralnie blisko $}$ jest to ściśle preferowane, a zatem część $,$$p\cdot (\Sigma _{i}x'_{i})\geq r}$$\ Displaystyle V_ {i}}$ p $\$ . $Przyjęcie$ granicy słabej ${\ Displaystyle p \ cdot (\ Sigma _ {i} x_ {i}) \ geq r}$ również. Innymi $_$ , w zamknięciu V .

$\ Sigma _ {i} x_ {i }^{*})\geq r}$ widzimy, że dla siebie $)$ . Wiemy również, że ${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*} \ in Y + \ {\ omega \}}$ , więc ${\ Displaystyle p \ cdot (\ Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*}) \ równoważnik r}$ również. Łącząc je, stwierdzamy, że ${\ Displaystyle p \ cdot (\ Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*}) = r}$ . Możemy użyć tego równania, aby pokazać, $do$ -

p ${\ Displaystyle p \ cdot (\ Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*}) = r$ i ${\ Displaystyle \ Sigma _ {i} x_ {i} ^ {*} = \ omega + \ Sigma _ {j} y_ {j} ^ {*}} wiemy, że dla dowolnej firmy j$ :

${\ Displaystyle p \ cdot (\ omega + y_ {j} + \ Sigma _ {h}y_{h}^{*})\leq r=p\cdot (\omega +y_{j}^{*}+\Sigma _{h}y_{h}^{*})}$ dla ${\ displaystyle h \ neq j}$

co implikuje ${\ Displaystyle p \ cdot y_ {j} \ równoważnik p \ cdot y_ {j} ^ {*}}$ . Podobnie wiemy:

${\ Displaystyle p \ cdot (x_ {i} + \ Sigma _ {k} x_ {k} ^ {*}) \ geq r = p \ cdot (x_ {i} ^ {*} + \ Sigma _ {k} x_ {k} ^ {*})} dla k ≠ ja {\ Displaystyle$ k $}$

co implikuje ${\ Displaystyle p \ cdot x_ {i} \ geq p \ cdot x_ {i} ^ {*}}$ . Te dwa stwierdzenia, wraz z wykonalnością alokacji w optimum Pareto, spełniają trzy warunki quasi-równowagi cenowej z transferami wspieranymi przez poziomy bogactwa ${\ Displaystyle w_ {i} = p \ cdot x_{i}^{*}}$ dla wszystkich i .

Przejdźmy teraz do warunków, w których quasi-równowaga cenowa jest również równowagą cenową, innymi słowy, warunków, w których stwierdzenie „jeśli ${\ displaystyle x_ {i}> _ {i} x_ { ja} ^ {*}}$ następnie ${\ Displaystyle p \ cdot x_ {i} \ geq w_ {i}}$ " implikuje "jeśli $\ Displaystyle x_ {i} >_{i}x_{i}^{*}}$ następnie ${\ Displaystyle p \ cdot x_ {i}> w_ {i}}$ ". Aby to było prawdą, musimy teraz założyć, że zbiór konsumpcji jest wypukły i ${\ displaystyle X_ {i}}$ relacja preferencji jest ciągła ${$$że$ , jeśli istnieje wektor konsumpcji taki, $displaystyle$ i ${\ Displaystyle p \ cdot x'_ {i}<w_ {i}}$ quasi-równowaga cenowa jest równowagą cenową.

zobaczyć $jest$ inaczej $p \ cdot x_ {i} = w_ {i}} i$ istnieje x $\ displaystyle x_ {i}} .$ przez $wypukłość$ wiązkę ${\ Displaystyle x''_ {i} = \ alfa x_ {i} + (1- \ alfa) x'_ {i} \ w X_ {i}}$ z ${\ Displaystyle p \ cdot x''_ {i}<w_ {i}}$ . Przez ciągłość blisko 1 mamy α $\ displaystyle$$geq _ {i}}$${\ Displaystyle \ alfa x_ {i} + (1- \ alfa) x'_ {i}> _ {i} x_ {i} ^ {*}}$ . Jest to sprzeczność, ponieważ ten pakiet jest preferowany i kosztuje mniej niż ${i} ^ {*}$$}$ .

Stąd, aby quasi-równowagi cenowe były równowagami cenowymi, wystarczy, aby zbiór konsumpcji był wypukły, relacja preferencji była ciągła i aby zawsze istniał „tańszy” pakiet konsumpcji x ja ′ { ${ i}}$ . Jednym ze sposobów zapewnienia istnienia takiego pakietu jest wymaganie, aby poziomy bogactwa $były$ dla wszystkich konsumentów ja .

Zobacz też

• Preferencje wypukłe
• Twierdzenia Variana – równowaga konkurencyjna jest zarówno efektywna w sensie Pareto, jak i pozbawiona zazdrości .
• Teoria równowagi ogólnej