Stała teta

0 W matematyce stała theta lub Thetanullwert ' (po niemiecku wartość theta zero; liczba mnoga Thetanullwerte ) jest ograniczeniem θ _m ( τ ) = θ _m ( τ , ) funkcji theta θ _m ( τ , z ) o charakterystyce wymiernej m do z = 0. Zmienna τ może być liczbą zespoloną w górnej półpłaszczyźnie, w którym to przypadku stałe theta są formami modułowymi, lub bardziej ogólnie może być elementem górnej półpłaszczyzny Siegela, w którym to przypadku stałe theta są formami modułowymi Siegela . Funkcja theta sieci jest zasadniczo szczególnym przypadkiem stałej theta.

Definicja

Funkcja theta θ _m ( τ , z ) = θ _{a , b} ( τ , z ) jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ theta _ {a, b} (\ tau, z) = \ suma _ {\ xi \ w Z ^ {n}} \ exp \ lewo [\ pi {\ rm {i}} (\ xi + a)\tau (\xi +a)^{t}+2\pi i(\xi +a)(z+b)^{t}\right]}$

Gdzie

• n jest dodatnią liczbą całkowitą, nazywaną rodzajem lub rangą.
• m = ( a , b ) nazywamy charakterystyką
• a , b są w R ⁿ
• τ jest zespoloną macierzą n na n z dodatnio określoną częścią urojoną
• z jest w C ⁿ
• t oznacza transpozycję wektora wierszowego.

Jeśli a , b są w Q ⁿ wtedy θ _{a , b} ( τ ,0) nazywamy stałą teta .

Przykłady

Jeśli n = 1 i aib są równe 0 lub 1/2, to funkcje θ _{a , b} ( τ , z ) są czterema funkcjami teta Jacobiego , a funkcje θ _{a , b} ( τ , 0) są klasycznymi Stałe theta Jacobiego. Stała theta θ _1/2,1/2 ( τ ,0) jest identycznie zerowa, ale pozostałe trzy mogą być niezerowe.

•   Igusa, Jun-ichi (1972), Funkcje Theta. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, tom. 194, Nowy Jork-Heidelberg: Springer-Verlag, MR 0325625