Stacjonarna analiza podprzestrzeni

Stacjonarna analiza podprzestrzeni (SSA) w statystyce to algorytm ślepej separacji źródeł , który rozkłada wielowymiarowe szeregi czasowe na składowe stacjonarne i niestacjonarne .

Wstęp

W wielu ustawieniach mierzone szeregi czasowe zawierają wkłady z różnych źródeł bazowych, których nie można zmierzyć bezpośrednio. Na przykład w EEG elektrody na skórze głowy rejestrują aktywność dużej liczby źródeł zlokalizowanych w mózgu. Źródła te mogą być stacjonarne lub niestacjonarne, ale nie są dostrzegalne w sygnałach elektrod, które są mieszaniną tych źródeł. SSA umożliwia oddzielenie źródeł stacjonarnych od niestacjonarnych w obserwowanych szeregach czasowych.

Zgodnie z modelem SSA zakłada się, że obserwowane wielowymiarowe szeregi czasowe $t$ generowane jako liniowa superpozycja źródeł stacjonarnych $}} (t)}$ $\ Displaystyle s ^ {\$ i źródła niestacjonarne ${\ Displaystyle s ^ {\ mathfrak {n}} (t)}$ ,

{\ Displaystyle x (t) = As (t) = {\ rozpocząć {bmatrix} A ^{\mathfrak {s}}&A^{\mathfrak {n}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}s^{\mathfrak {s}}(t)\\s^{\mathfrak {n }}(t)\\\koniec{bmacierzy}},}

gdzie jest ${\ displaystyle A}$ , ale stałą w czasie macierzą miksującą; ZA ${\ Displaystyle A ^ {\ mathfrak {s}}}$ $są$ podstawą stacjonarnej i niestacjonarnej podprzestrzeni.

Biorąc pod uwagę próbki z szeregu czasowego $oddzielającej$ stacjonarnej analizy podprzestrzennej jest oszacowanie odwrotnej macierzy mieszania od niestałych. ZA $A ^ {-1}}$ -stacjonarne źródła w mieszaninie ${\ Displaystyle x (t)}$ .

Identyfikowalność rozwiązania

Prawdziwe źródła stacjonarne $s ( t ) {\ Displaystyle$ identyfikowalne (do transformacji liniowej), a prawdziwa niestacjonarna podprzestrzeń jest s $mathfrak {n}}}$ $A ^ {$ jest możliwy do zidentyfikowania. ${\ Displaystyle s ^ {\ mathfrak {n}} (t)}$ i prawdziwa stacjonarna podprzestrzeń ZA $\ Displaystyle A ^ {\ mathfrak {s}}}$ nie można zidentyfikować, ponieważ arbitralne wkłady ze źródeł stacjonarnych nie zmieniają niestacjonarnego charakteru źródła niestacjonarnego.

Aplikacje i rozszerzenia

Stacjonarna analiza podprzestrzeni została z powodzeniem zastosowana do interfejsu mózg-komputer , wizji komputerowej i segmentacji czasowej. Istnieją warianty problemu SSA, które można rozwiązać analitycznie w postaci zamkniętej, bez optymalizacji numerycznej.

Zobacz też