Stan związany w kontinuum

Schematyczny obraz poziomów energii i przykłady różnych stanów. Dyskretne stany widma (zielony), stany rezonansowe (niebieska linia przerywana) i stany związane w kontinuum (czerwony). Częściowo odtworzone z i

Stan związany w kontinuum (BIC) - jest stanem własnym określonego układu kwantowego o następujących właściwościach:

1. Energia leży w ciągłym widmie propagujących się modów otaczającej przestrzeni;
2. Stan nie oddziałuje z żadnym ze stanów kontinuum (nie może emitować i nie może być wzbudzany przez żadną falę pochodzącą z nieskończoności);
3. Energia jest rzeczywista, a współczynnik Q jest nieskończony, jeśli w systemie nie ma absorpcji.

BIC obserwuje się w systemach elektronicznych, fotonicznych , akustycznych . Powszechnie znane są stany związane w strefie zabronionej, gdzie nie ma skończonych rozwiązań w nieskończoności ( atomy , kropki kwantowe , defekty w półprzewodnikach ). Dla rozwiązań w kontinuum powiązanych z tym kontinuum znane są stany rezonansowe, które zanikają (tracą energię) w czasie. Mogą być wzbudzone na przykład przez padającą falę o tej samej energii. Stany związane w kontinuum mają rzeczywiste wartości własne energii i dlatego nie oddziałują ze stanami widma ciągłego i nie mogą zanikać.

BIC Wignera-Von Neumanna

Stany związane w kontinuum po raz pierwszy przewidzieli w 1929 roku Eugene Wigner i John von Neumann . Opisano dwa potencjały, w których BIC pojawiają się z dwóch różnych powodów.

W tej pracy najpierw wybrano sferycznie symetryczną funkcję falową, tak aby była całkowalna kwadratowo w całej przestrzeni. Następnie wybiera się potencjał taki, że ta funkcja falowa odpowiada zerowej energii.

Potencjał jest sferycznie symetryczny, wtedy równanie falowe zostanie zapisane w następujący sposób:

${\ Displaystyle - {\ Frac {h ^ {2}} {8 \ pi ^ {2} m}} \ Delta \ psi +(V(r)-E)\psi =0,}$

pochodne kąta znikają, ponieważ ograniczamy się do rozważania tylko sferycznie symetrycznych funkcji falowych:

${\ Displaystyle \ Delta = {\ Frac {\ częściowe ^ {2}}} \częściowy x^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy z^{2 }}}={\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\częściowy }{\częściowy r}}, }$

Aby $E$ wartością własną sferycznie symetrycznej funkcji falowej musi wynosić $= 0 }$

${\ Displaystyle V = {\ Frac {h ^ {2}} {8 \ pi ^ {2} m}} \ lewo ({{ \frac {\psi ^{\prime \prime }}{\psi }}+{\frac {2\psi ^{\prime}}{r\psi }}\right)}$ .

Otrzymujemy określone wartości i $displaystyle$$V}$ , dla których będzie obserwowany BIC.

Pierwszy przypadek

Potencjał i funkcja falowa odpowiadająca energii zerowej dla pierwszego przypadku BIC Wignera-Von Neumanna

Rozważmy funkcję ${\ Displaystyle \ psi = r ^ {\ alfa} {\ sin r ^ {\ beta}}}$ . Natomiast całka ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 4 \ pi r ^ {2} | \ psi (r) | ^ {2}dr=\int _{0}^{\infty }4\pi r^{2\alpha +2}{\sin ^{2}r^{\beta }}dr} musi być skończone, a następnie biorąc pod$ uwagę zachowanie, gdy $1$ otrzymujemy, że ${\ Displaystyle 2 \ alfa + \ beta +2> -1}$ pod uwagę zachowanie, gdy ${ \displaystyle r=\infty}$ , otrzymujemy ${\ Displaystyle 2 \ alfa + 2 <-1}$ . Regularność ${\ Displaystyle V (r)}$ w ${\ Displaystyle r \ neq 0}$ wymaga ${\ Displaystyle 2 \ alfa + \ beta + 1 = 0}$ . Ostatecznie otrzymujemy ${\ Displaystyle \ alpha = -2, \ \ beta = 3}$ .

Zakładając, że ${\ Displaystyle \ psi (r) = {\ Frac {\ sin r ^ {3}} {r ^ {2}}}}$ , wtedy potencjał będzie równy (odrzucając nieistotny mnożnik ${\ Displaystyle {h ^ {2}} / {8 \ pi ^ {2} m}})$ :

${\ Displaystyle V (r) = {\ Frac {2} {r ^ {2}}} -9r ^ {4}}$

Funkcja własna i krzywa potencjału są pokazane na rysunku. Wydaje się, że elektron po prostu stoczy się z potencjału, a energia będzie należeć do widma stałego, ale istnieje orbita stacjonarna z ${\ displaystyle E = 0}$ .

W pracy podano następującą interpretację: zachowanie to można zrozumieć przez analogię z mechaniką klasyczną (rozważania należą do Leo Szilarda ). Ruch punktu materialnego w potencjale opisuje następujące równanie: ${\ Displaystyle V = {\ Frac {2} {r ^ {2}}} -9r ^ {4}}$ :

${\ Displaystyle {{\ Frac {m} {2}} \ lewo ({\ Frac {dr} {dt}} \ prawej) ^ {2} + V (r) = \ operatorname {Const}}}$

${\ Displaystyle {{\ Frac {dr} {dt}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}\mathrm {Const} -{\frac {4}{m}}{\frac {1}{r^{2}}}+ {\frac {18}{m}}r^{4}}}}}$

Łatwo zauważyć, że kiedy ${\ Displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ , ${\ Displaystyle {\ Frac {dr} {dt}} \ rightarrow \ infty}$ , więc asymptotyka jest

${\ Displaystyle {\ Frac {dr} {dt}} = {\ Frac {3 {\ sqrt {2}}} {\ sqrt {m}}} r ^ { 2};\ \ \ \ \ \ \ {\frac {1}{r}}={\frac {3{\sqrt {2}}}{\sqrt {m}}}\left(t_{0}- t \ prawej), \ \ }$${\ Displaystyle R = {\ Frac {\ sqrt {m}} {3 {\ sqrt {2}} \ lewo (t_ {0} - t\prawo)}}}$

to znaczy przez skończony czas $do$ nieskończoności Rozwiązanie stacjonarne $i$ , że ​​​​punkt ponownie powraca z nieskończoności, że jest tak, jakby odbijał się stamtąd Fakt, że $,$$wynika z$ zera że toczy się po dużym potencjalnym poślizgu i ma ogromną prędkość krótkie życie. A ponieważ cały proces oscylacyjny (od $ma$ iz powrotem) jest okresowy, logiczne jest, że ten problem mechaniki kwantowej

Drugi przypadek

(a) Potencjał i funkcja falowa (w dowolnej skali wzdłuż osi pionowej) odpowiadająca zerowej energii, dla drugiego przypadku SSC Wignera von Neumanna, ${\ Displaystyle A = 1,5}$ (b) ${ \displaystyle A=15}$ .

Przejdźmy do drugiego przykładu, którego nie da się już interpretować z takich rozważań.

$=$ wszystkim bierzemy funkcję $a$ - } $,$ energia $.$ potencjał klasyczna energia kinetyczna pozostaje Funkcja falowa należy do widma ciągłego, całka ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} 4 \ pi r ^ {2} | \ psi (r) | ^ {2} dr = 4 \pi \int _{0}^{\infty}\sin ^{2}rdr}$ rozbieżne. Spróbujmy zmienić funkcję falową tak, aby całka kwadratowa była zbieżna, a potencjał zmieniał się w pobliżu -1.

Rozważ następujące ansatz:

${\ Displaystyle \ psi = {\ Frac {\ sin r} {r}} f (r)}$

Jeśli funkcja jest $Displaystyle r$ i asymptotyczna jest ${\ Displaystyle r ^$$rightarrow \ infty}$ to całka jest skończona. Potencjał byłby wtedy równy (z poprawionym błędem arytmetycznym w oryginalnym artykule):

${\ Displaystyle V = -1 + 2 \ nazwa operatora {ctg} r {\ Frac {f ^ {\ pierwsza} (r)} {f (r)}} + {\ Frac {f ^ {\ pierwsza \ pierwsza} ( r)}{f(r)}}.}$

Aby potencjał pozostawał blisko -1 i przy ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ctg} r {\ Frac {f ^ {\ pierwsza} (r)} {f (r)}}, \ {\ Frac {f ^ {\ pierwsza \ liczba pierwsza } (r) {f (r)}}}$$, by$ funkcje mała i przy ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ dążą do zera.

W pierwszym przypadku również powinno zniknąć dla $displaystyle \ nazwa operatora {ctg} r = \ infty}$$}$$\$ , a mianowicie dla ${\ Displaystyle r = 0, \ pi, \ 2 \ pi, \ 2 \ pi, \ kropki}$ , to jest dla ${\ displaystyle \ sin r = 0}$ . Dzieje się tak, gdy ${\ Displaystyle f (r) = \ int _ {0} ^ {r} \ sin ^ { 2}rdr={\frac {r}{2}}-{\frac {1}{4}}\sin 2r}$ lub dowolna inna funkcja tego wyrażenia.

Załóżmy, że $} - {\ Frac {1} {4}} \ sin 2r) ^ {2}] ^ {- 1}}$${\ Displaystyle f (r) = [A ^ {2} + ({\ Frac {r} {2}$$\ displaystyle f (r )}$ , gdzie jest dowolne (tutaj $)$ ma tendencję do ${\ Displaystyle r ^ {\ alfa}, \ \ \ alfa <-1/2},$ gdy ${\ Displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ ). Następnie

${\ Displaystyle \ psi = {\ Frac {\ sin r} {r (A ^ {2} + (2r - \ sin 2r) ^ {2})}}.}$

Wyrażenie na potencjał jest kłopotliwe, ale wykresy pokazują, że dla potencjału dąży do -1. ${\ displaystyle r \ rightarrow \ infty}$ Co więcej, okazuje się, że dla dowolnego $Displaystyle$ wybrać takie A , że potencjał mieści się między $-1-\ varepsilon}$ a ${\ Displaystyle -1+\varepsilon }$ . Widzimy, że potencjał oscyluje z okresem, $funkcja$$oscyluje$ z . Okazuje się, że wszystkie fale odbite od „garbów” takiego potencjału są w fazie, a funkcja jest zlokalizowana w środku, odbijając się od potencjału przez mechanizm podobny do odbicia od zwierciadła Bragga .

Literatura

• Hsu C., Zhen B., Stone AD, Joannopoulos JD, Soljačić M. Związane stany w kontinuum // Nature Recenzje Materiały. — 2016. — Cz. 1. — P. 16048. — doi:10.1038/natrevmats.2016.48.
• Koshelev K., Bogdanov A., Kivshar Yu. Inżynieria ze stanami związanymi w kontinuum // Wiadomości z optyki i fotoniki. — 2020. — Cz. 31, nr 1. — s. 38–45. — doi:10.1364/OPN.31.1.000038.
• Azzam SI, Kildishev AV Fotoniczne stany związane w kontinuum: od podstaw do zastosowań // Zaawansowane materiały optyczne. — 2020. — P. 2001469. — doi:10.1002/adom.202001469.
• Sadreev AF Interference wychwytuje fale w systemie otwartym: stany związane w kontinuum. — 2020. — arXiv:2011.01221.