Stochastyczna nierówność Gronwalla

Stochastyczna nierówność Gronwalla jest uogólnieniem nierówności Gronwalla i została wykorzystana do udowodnienia poprawności stochastycznych równań różniczkowych zależnych od ścieżki z założeniem lokalnej monotoniczności i koercji w odniesieniu do normy supremum.

Oświadczenie

Niech ${\ Displaystyle X (t), \, t \ geq 0}$ będzie nieujemną prawostronnie ciągłą ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} _ { t})_{t\geq 0}}$ - proces dostosowany . Załóżmy $_$ _ _ _ gdzie ${\ Displaystyle A (0) = 0}$ i niech ${\ Displaystyle H (t), \, t \ geq 0}$ będzie nie malejącym i dostosowanym procesem zaczynającym się od ${\ Displaystyle H (0) \ geq 0}$ . Dalej, niech ${\ Displaystyle M (t), \, t \ geq 0}$ będzie an ${\ Displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {t}) _ {t \ geq 0}}$ - lokalny martyngał z ${\ Displaystyle M (0) = 0}$ i càdlàg ścieżkami.

, że dla wszystkich ${\ displaystyle t \ geq 0}$

${\ Displaystyle X (t) \ równoważnik \ int _ {0} ^ {t} X ^ {*}(u^{-})\,dA(u)+M(t)+H(t),} gdzie$ X ${\ Displaystyle X ^ {*} (u): = \ sup _ {r \ w [0, u]} X (r)}$ .

i zdefiniuj ${\ Displaystyle c_ {p} = {\ Frac {p ^ {- p}} {1-p}}}$ . Następnie następujące szacunki obowiązują dla ${\ Displaystyle p \ w (0,1)}$ i ${\ Displaystyle T> 0}$ :

• mi ${\ Displaystyle \ mathbb {E} {\ duży (} H (T) ^ {p} {\ duży}} <\ infty}$ H $\ Displaystyle H}$ jest przewidywalny , wtedy ${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ lewo (X ^ {*} (T) \ prawo) ^ {p} {\ duży \ vert}} {\ mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}}{p}}\mathbb {E} \left[(H(T))^{p}{\big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\exp \left\lbrace c_{p}^{1/p}A(T)\right\rbrace }$ ;

• mi ${\ Displaystyle \ mathbb {E} {\ duży (} H (T) ^ {p} {\ duży} <\ infty$ i ${\ Displaystyle M}$ nie ma ujemnych skoków, więc ${\ Displaystyle \ mathbb {E} \ lewo [\ lewo (X ^ {*} (T) \ prawo) ^ {p} {\ duży \ vert} {\ mathcal {F}} _ {0} \ prawo] \ leq {\frac {c_{p}+1}{p}}\mathbb {E} \left[(H(T))^{p}{\big \vert }{\mathcal {F}}_{0 }\right]\exp \left\lbrace (c_{p}+1)^{1/p}A(T)\right\rbrace }$ ;

• Jeśli ${\ Displaystyle \ mathbb {E} H (T) <\ infty,}$ to ${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mathbb {E} \ lewo [\ lewo (X ^ {*} (T) \ prawo) ^ {p} \Big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\leq {\frac {c_{p}}{p}}\left(\mathbb {E} \left[H(T){ \big \vert }{\mathcal {F}}_{0}\right]\right)^{p}\exp \left\lbrace c_{p}^{1/p}A(T)\right\rbrace }}$ ;

Dowód

Zostało to udowodnione przez nierówność Lenglarta .