Nierówność Grönwalla

W matematyce nierówność Grönwalla (zwana także lematem Grönwalla lub nierównością Grönwalla-Bellmana ) pozwala związać funkcję, o której wiadomo, że spełnia pewną nierówność różniczkową lub całkową przez rozwiązanie odpowiedniego równania różniczkowego lub całkowego . Istnieją dwie formy lematu, postać różniczkowa i postać całkowa. W przypadku tych ostatnich istnieje kilka wariantów.

Nierówność Grönwalla jest ważnym narzędziem do uzyskiwania różnych oszacowań w teorii równań różniczkowych zwyczajnych i stochastycznych . W szczególności dostarcza twierdzenia o porównaniu , którego można użyć do udowodnienia jednoznaczności rozwiązania problemu z wartością początkową ; patrz twierdzenie Picarda-Lindelöfa .

Jej nazwa pochodzi od Thomasa Hakona Grönwalla (1877–1932). Grönwall to szwedzka pisownia jego nazwiska, ale po wyemigrowaniu do Stanów Zjednoczonych przeliterował swoje nazwisko jako Gronwall w swoich publikacjach naukowych.

Nierówność została po raz pierwszy udowodniona przez Grönwalla w 1919 r. (Poniższa postać całkowa, w której $α$ i $β$ są stałymi). Richard Bellman udowodnił nieco bardziej ogólną formę całkową w 1943 roku.

Nieliniowe uogólnienie nierówności Grönwalla-Bellmana jest znane jako nierówność Bihari-LaSalle'a . Inne warianty i uogólnienia można znaleźć w Pachpatte, BG (1998).

Forma różniczkowa

Niech przedział prostej rzeczywistej postaci $[a \infty)$ $[ , b),$ lub $[a, b]$ lub $a$ oznaczę przez $a < b$ . Niech $β$ i $u będą$ funkcjami ciągłymi o wartościach rzeczywistych zdefiniowanymi na $I$ . Jeśli $u$ jest różniczkowalne we wnętrzu $I o$ z $I$ (przedział $I$ bez punktów końcowych $a$ i ewentualnie $b$ ) i spełnia nierówność różniczkową

{\ Displaystyle u' (t) \ równoważnik \ beta (t) \, u (t), \ qquad t \ w ja ^ { \circ},}

wtedy $u$ jest ograniczone rozwiązaniem odpowiedniego równania różniczkowego $v'(t) = β (t) v (t)$ :

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik u (a) \ exp {\ biggl (} \ int _ {a} ^ { t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}

dla wszystkich $t \in ja$ .

Uwaga: Nie ma żadnych założeń co do znaków funkcji $β$ i $u$ .

Dowód

Zdefiniuj funkcję

{\ Displaystyle v (t) = \ exp {\ biggl (} \ int _ {a} ^ {t} \ beta (s) \, \ operatorname {d} s {\ biggr)}, \ qquad t \ w ja .}

Zauważ, że $v$ spełnia

{\ Displaystyle v' (t) = \ beta (t) \, v (t), \ qquad t \ w ja ^ {\ okrąg },}

gdzie $v (za) = 1$ i $v (t) > 0$ dla wszystkich $t \in ja$ . Zgodnie z regułą ilorazu

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} {\ Frac {u (t)}} {v (t)}} = {\ frac {u'(t)\,v(t)-v'(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}={\frac {u'(t)\,v (t)-\beta (t)\,v(t)\,u(t)}{v^{2}(t)}}\leq 0,\qquad t\in I^{\circ },}

Zatem pochodna funkcji $u ( t ) / v ( t )$ jest dodatnia, a funkcja jest ograniczona powyżej jej wartością w punkcie początkowym $/ v (t$ przedziału ${\ displaystyle I}$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {u (t)} {v (t)}} \ równoważnik {\ frac {u(a)}{v(a)}}=u(a),\qquad t\in I,}

czyli nierówność Grönwalla.

Postać całkowa dla funkcji ciągłych

Niech przedział prostej rzeczywistej postaci $[a \infty)$ $[ , b),$ lub $[a, b]$ lub $a$ oznaczę przez $a < b$ . Niech $α$ , $β$ i $u$ będą funkcjami o wartościach rzeczywistych zdefiniowanymi na $I$ . Załóżmy, że $β$ i $u$ są ciągłe i że ujemna część $α$ jest całkowalna na każdym domkniętym i ograniczonym podprzedziale $I$ .

Jeśli $β$ nieujemne $u$ całkową

_ t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad \forall t\in I,}

wtedy

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) + \ int _ {a} ^ {t} \ alfa (s) \ beta (s) \ exp {\ biggl (} \ int _ {s} ^ { t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I.} (b

) Jeżeli dodatkowo funkcja $α$ jest niemalejący, to

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) \ exp {\ biggl (} \ int _ {a} ^ {t} \ beta (s) \ \ operatorname {d} s {\ biggr)}, \qquad t\w I.}

Uwagi:

Nie ma żadnych założeń co do znaków funkcji $α$ i $u$ .
W porównaniu z postacią różniczkową, różniczkowalność u $nie$ jest potrzebna dla postaci całkowej.
Aby zapoznać się z wersją nierówności Grönwalla, która nie wymaga ciągłości $β$ i $u$ , zobacz wersję w następnej sekcji.

Dowód

(a) Zdefiniuj

{\ Displaystyle v (s) = \ exp {\ biggl (}{-} \ int _ {a} ^ {s} \ beta (r) \ \ operatorname {d} r {\ biggr)} \ int _ { a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}

Korzystając z reguły iloczynu , reguły łańcuchowej , pochodnej funkcji wykładniczej i podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego , otrzymujemy dla pochodnej

{\ Displaystyle v' (s) = {\ biggl (} \ underbrace {u (s) - \ int _ {a} ^ {s} \ beta (r) u (r) \, \ operatorname {d} r} _{\równoważnik \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\ matematyczna {d} r{\biggr )},\qquad s\in I,}

gdzie dla górnego oszacowania wykorzystaliśmy założoną nierówność całkową. Ponieważ $β$ i wykładnicza nie są ujemne, daje to górne oszacowanie pochodnej $v$ . Ponieważ $v (a) = 0$ , całkowanie tej nierówności od $a$ do $t$ daje

{\ Displaystyle v (t) \ równoważnik \ int _ {a} ^ {t} \ alfa (s) \ beta (s) \ exp {\ biggl (}{-} \ int _ {a} ^ {s} \ beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}

Wykorzystując definicję $v (t)$ dla pierwszego kroku, a następnie tę nierówność i równanie funkcyjne funkcji wykładniczej, otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {a} ^ {t} \ beta (s) u (s) \ \ operatorname {d} s & = \ exp {\ biggl (} \ int _ {a} ^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s )\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r) \,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s. \end{wyrównane}}}

Podstawienie tego wyniku do założonej nierówności całkowej daje nierówność Grönwalla.

(b) Jeśli funkcja $α$ jest niemalejąca, to z części (a), faktu $α (s) \leq α (t)$ i fundamentalnego twierdzenia rachunku różniczkowego wynika, że

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u (t) i \ równoważnik \ alfa (t) + {\ biggl (}{-} \ alfa (t) \ exp {\ biggl (} \ int _ {s} ^ { t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha (t )\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I.\end{wyrównane}} }

Postać całkowa z lokalnie skończonymi miarami

Niech przedział prostej rzeczywistej postaci $[a \infty)$ $[ , b),$ lub $[a, b]$ lub $a$ oznaczę przez $a < b$ . Niech $α$ i $u$ będą mierzalnymi funkcjami zdefiniowanymi na $I$ i niech $μ$ będzie ciągłą nieujemną miarą na σ-algebrze $Borela$ I spełniające $μ ([a, t]) < \infty$ dla wszystkich $t \in I$ (jest to z pewnością spełnione, gdy $μ$ jest miarą lokalnie skończoną ). Załóżmy, że $u$ jest całkowalne względem $μ$ w tym sensie, że

{\ Displaystyle \ int _ {[a, t)} | u (s) | \, \ mu (\ operatorname {d} s) <\ infty, \ qquad t \w ja,}

i że $u$ spełnia nierówność całkową

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) + \ int _ {[a, t)} u (s) \ \ mu (\ operatorname {d} s), \ qquad t \ w I.}

Jeśli dodatkowo

funkcja $α$ jest nieujemna lub
funkcja $t \mapsto μ ([a, t])$ jest ciągła dla $t \in I$ , a funkcja $α$ jest całkowalna względem $μ$ w tym sensie, że

{\ Displaystyle \ int _ {[a, t}} | \ alfa (s) | \, \ mu (\ operatorname {d} s) <\ infty, \ qquad t\w ja,}

wtedy $u$ spełnia nierówność Grönwalla

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) +\int _{[a,t)}\alpha (s)\exp {\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}\,\mu (\mathrm {d} s) }

dla wszystkich $t \in I$ , gdzie $I s, t$ oznacza przedział otwarty $(s, t)$ .

Uwagi

Nie ma żadnych założeń ciągłości dla funkcji $α$ i $u$ .
Całka w nierówności Grönwalla może dawać wartość nieskończoności.
Jeśli $α$ jest funkcją zerową, a $u$ jest nieujemne, to z nierówności Grönwalla wynika, że $u$ jest funkcją zerową.
Całkowalność $u$ względem $μ$ jest istotna dla wyniku. Dla kontrprzykładu niech $μ$ oznacza miarę Lebesgue'a w przedziale jednostkowym $[0, 1]$ , zdefiniuj $u (0) = 0$ i $u (t) = 1/ t$ dla $t \in$ $(0, 1]$ i niech $α$ będzie zerem funkcjonować.
Wersja podana w podręczniku S. Ethiera i T. Kurtza. przyjmuje silniejsze założenie, że $α$ jest stałą nieujemną, a $u$ jest ograniczone w ograniczonych przedziałach, ale nie zakłada, że miara $μ$ jest lokalnie skończona. W porównaniu z poniższym dowodem nie omawiają zachowania reszty $R n (t)$ .

Przypadki specjalne

Jeśli miara $μ$ ma gęstość $β$ względem miary Lebesgue'a, to nierówność Grönwalla można zapisać jako

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) + \ int _ {a} ^ {t} \ alfa (s) \ beta (s) \ exp {\ biggl (} \ int _ {s} ^ { t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I.} Jeśli funkcja α jest

nieujemna $,$ a gęstość $β$ $μ$ jest ograniczone przez stałą $c$ , wtedy

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) + c \ int _ {a} ^ {t} \ alfa (s) \ exp {\ bigl (} c (ts) {\ bigr)} \, \ mathrm {d} s,\qquad t\in I.}

Jeśli dodatkowo nieujemna funkcja $α$ jest niemalejąca, to

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) + c \ alfa (t) \ int _ {a} ^ {t} \ exp {\ bigl (} c (ts) {\ bigr)} \, \ matematyczna {d} s=\alpha (t)\exp(c(ta)),\qquad t\in I.}

Zarys dowodu

Dowód podzielony jest na trzy etapy. Chodzi o to, aby założoną nierówność całkową zastąpić samą sobą $n$ razy. Odbywa się to w zastrzeżeniu 1 przy użyciu indukcji matematycznej. W zastrzeżeniu 2 przepisujemy miarę simpleksu w dogodnej postaci, używając niezmienniczości permutacji miar iloczynu. W trzecim kroku przechodzimy do granicy $n$ do nieskończoności, aby wyprowadzić pożądany wariant nierówności Grönwalla.

Szczegółowy dowód

Twierdzenie 1: Iteracja nierówności

Dla każdej liczby naturalnej $n$ włącznie z zerem,

{\ Displaystyle u (t) \ równoważnik \ alfa (t) + \ int _ {[a, t}} \ alfa (s) \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ mu ^ {\ otimes k}(A_{k}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+R_{n}(t)}

z resztą

{\ Displaystyle R_ {n} (t): =\int _{[a,t)}u(s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t \w ja,}

Gdzie

{\ Displaystyle A_ {n} (s ,t)=\{(s_{1},\ldots,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n }\},\qquad n\geq 1,}

jest $n$ -wymiarowym simpleksem i

{\ Displaystyle \ mu ^ {\ czasami 0} (A_ {0} (s, t)): = 1.}

Dowód roszczenia 1

Stosujemy indukcję matematyczną . Dla $n = 0$ jest to po prostu przyjęta nierówność całkowa, ponieważ pusta suma jest zdefiniowana jako zero.

Krok indukcyjny od $n$ do $n + 1$ : Wstawienie założonej nierówności całkowej dla funkcji $u$ do reszty daje

{\ Displaystyle R_ {n} (t) \leq \int _{[a,t)}\alpha (s)\mu ^{\otimes n}(A_{n}(s,t))\,\mu (\mathrm {d} s)+{ \tylda {R}}_{n}(t)}

z

{\ Displaystyle {\ tylda {R}} _ {n} (t): = \ int _ {[a, t)}} {\ biggl (} \ int _ {[a, q)} u (s) \, \mu (\mathrm {d} s){\biggr )}\mu ^{\otimes n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q),\qquad t \w I.}

Używając twierdzenia Fubiniego – Tonellego do zamiany dwóch całek, otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ tylda {R}} _ {n} (t) = \ int _ {[a, t}} u (s) \ underbrace {\ int _ {(s, t)} \ mu ^ {\ czasami n}(A_{n}(q,t))\,\mu (\mathrm {d} q)} _{=\,\mu ^{\oraz n+1}(A_{n+1}( s,t))}\,\mu (\mathrm {d} s)=R_{n+1}(t),\qquad t\in I.}

Stąd Twierdzenie 1 jest udowodnione dla $n + 1$ .

Twierdzenie 2: Miara simpleksu

Dla każdej liczby naturalnej $n$ włącznie z zerem i wszystkich $s < t$ w $I$

{\ Displaystyle \ mu ^ {\ otimes n} (A_ {n} (s, t)) \ leq {\ Frac {{\ bigl (} \ mu (I_ {s, t}) {\ bigr)} ^ { n}}{n!}}}

z równością w przypadku, gdy $t \mapsto μ ([a, t])$ jest ciągłe dla $t \in I$ .

Dowód roszczenia 2

Dla $n = 0$ twierdzenie jest prawdziwe zgodnie z naszymi definicjami. Dlatego rozważ $n \geq 1$ poniżej.

Niech $S n$ oznacza zbiór wszystkich permutacji indeksów w ${1, 2, . . . , n$ }. Dla każdej permutacji $σ \in S n$ określ

{\ Displaystyle A_ {n, \ sigma} (s, t) = \ {(s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) \ w I_ {s, t} ^ {n} \ mid s_ {\ sigma (1)}<s_{\sigma (2)}<\cdots <s_{\sigma (n)}\}.}

Te zbiory są rozłączne dla różnych permutacji i

{\ Displaystyle \ bigcup _ {\ sigma \ w S_ {n}} A_ {n, \ sigma} (s, t) \ podzbiór I_ {s, t} ^ {n}.}

Dlatego,

{\ Displaystyle \ suma _ {\ sigma \ w S_ {n}} \ mu ^ {\ otimes n} (A_ {n, \ sigma} (s, t)) \ równoważnik \ mu ^ {\ otimes n} {\ bigl (}I_{s,t}^{n}{\bigr )}={\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{n}.}

Ponieważ wszystkie mają tę samą miarę względem iloczynu $n -krotnego$ $μ$ , a ponieważ jest ich $n!$ permutacji w $S n$ , wynika z tego deklarowana nierówność.

Załóżmy teraz, że $t \mapsto μ ([a, t])$ jest ciągłe dla $t \in I$ . Wtedy dla różnych indeksów $i, j \in {1, 2, . . . , n$ }, zbiór

{\ Displaystyle \ {(s_ {1}, \ ldots, s_ {n}) \ w ja_ {s, t} ^{n}\mid s_{i}=s_{j}\}}

jest zawarty w hiperpłaszczyźnie , stąd stosując twierdzenie Fubiniego jego miara względem iloczynu $n -krotnego$ $μ$ wynosi zero. Od

{\ Displaystyle I_ {s, t} ^ {n} \ podzbiór \ bigcup _ {\ sigma \ w S_ {n}} A_ {n, \ sigma} (s, t) \ kubek \ bigcup _ {1 \ równoważnik ja <j\leq n}\{(s_{1},\ldots,s_{n})\in I_{s,t}^{n}\mid s_{i}=s_{j}\},}

wynika z tego żądana równość.

Dowód nierówności Grönwalla

Dla każdej liczby naturalnej $n$ z zastrzeżenia 2 implikuje to dla pozostałej części zastrzeżenia 1

{\ Displaystyle | R_ {n} (t) | \ równoważnik {\ Frac {{\ bigl (} \ mu (I_ {a, t}) {\ bigr)} ^ {n}} {n!}} \ int _{[a,t)}|u(s)|\,\mu (\mathrm {d} s),\qquad t\in I.}

Z założenia mamy $μ (ja ., t) <$ ∞ Stąd założenie o całkowalności na $u$ implikuje to

{\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} R_ {n} (t) = 0, \ qquad t \ w I.}

Zastrzeżenie 2 i reprezentacja szeregowa funkcji wykładniczej implikują oszacowanie

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ mu ^ {\ otimes k} (A_ {k} (s, t)) \ równoważnik \ suma _ {k = 0} ^ {n- 1}{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\leq \exp {\bigl (}\mu (I_{ s, t}) {\bigr )}}

dla wszystkich $s < t$ w $I$ . Jeśli funkcja $α$ jest nieujemna, wystarczy wstawić te wyniki do zastrzeżenia 1, aby wyprowadzić powyższy wariant nierówności Grönwalla dla funkcji $u$ .

W przypadku, gdy $t \mapsto μ ([a, t])$ jest ciągłe dla $t \in I$ , Twierdzenie 2 daje

{\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n-1} \ mu ^ {\ otimes k} (A_ {k} (s, t)) = \ suma _ {k = 0} ^ {n-1 }{\frac {{\bigl (}\mu (I_{s,t}){\bigr )}^{k}}{k!}}\to \exp {\bigl (}\mu (I_{s ,t}){\bigr )}\qquad {\text{as}}n\do \infty}

a całkowalność funkcji $α$ pozwala na użycie twierdzenia o zbieżności zdominowanej do wyprowadzenia nierówności Grönwalla.

^ Gronwall, Thomas H. (1919), „Uwaga dotycząca pochodnych w odniesieniu do parametru rozwiązań układu równań różniczkowych”, Ann. z matematyki. , 20 (2): 292–296, doi : 10.2307/1967124 , JFM 47.0399.02 , JSTOR 1967124 , MR 1502565
^ Bellman, Richard (1943), „Stabilność rozwiązań liniowych równań różniczkowych” , Duke Math. J. , 10 (4): 643–647, doi : 10.1215/s0012-7094-43-01059-2 , MR 0009408 , Zbl 0061.18502
^ Pachpatte, BG (1998). Nierówności dla równań różniczkowych i całkowych . San Diego: prasa akademicka. ISBN 9780080534640 .
^ Ethier, Steward N.; Kurtz, Thomas G. (1986), Procesy Markowa, charakterystyka i konwergencja , Nowy Jork: John Wiley & Sons , s. 498, ISBN 0-471-08186-8 , MR 0838085 , Zbl 0592.60049

Zobacz też

Stochastyczna nierówność Gronwalla
Norma logarytmiczna , dla wersji lematu Gronwalla, która podaje górne i dolne granice normy macierzy przejść między stanami.
Nierówność Halanay'a . Podobna nierówność do lematu Gronwalla, która jest używana do równań różniczkowych z opóźnieniem.

Ten artykuł zawiera materiał z lematu Gronwalla o PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[gronwall-1] Gronwall, Thomas H. (1919), „Uwaga dotycząca pochodnych w odniesieniu do parametru rozwiązań układu równań różniczkowych”, Ann. z matematyki. , 20 (2): 292–296, doi : 10.2307/1967124 , JFM 47.0399.02 , JSTOR 1967124 , MR 1502565

[2] Bellman, Richard (1943), „Stabilność rozwiązań liniowych równań różniczkowych” , Duke Math. J. , 10 (4): 643–647, doi : 10.1215/s0012-7094-43-01059-2 , MR 0009408 , Zbl 0061.18502

[3] Pachpatte, BG (1998). Nierówności dla równań różniczkowych i całkowych . San Diego: prasa akademicka. ISBN 9780080534640 .

[4] Ethier, Steward N.; Kurtz, Thomas G. (1986), Procesy Markowa, charakterystyka i konwergencja , Nowy Jork: John Wiley & Sons , s. 498, ISBN 0-471-08186-8 , MR 0838085 , Zbl 0592.60049