Charakteryzacje funkcji wykładniczej

W matematyce funkcję wykładniczą można scharakteryzować na wiele sposobów. Następujące charakterystyki (definicje) są najczęściej spotykane. W tym artykule omówiono, dlaczego każda charakterystyka ma sens i dlaczego charakterystyki są od siebie niezależne i równoważne . Jako szczególny przypadek tych rozważań zostanie wykazane, że trzy najpowszechniejsze definicje stałej matematycznej e są sobie równoważne.

Charakteryzacje

Sześć najczęstszych definicji funkcji wykładniczej exp( x ) = e ^x dla rzeczywistego x to:

1. Zdefiniuj e ^x przez granicę
   $${\ Displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {x} {n}} \ prawo) ^ {n}.}$$
2. Zdefiniuj e ^x jako wartość nieskończonego szeregu
   $${\ Displaystyle e ^ {x} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ ponad n!} = 1 + x + {\ Frac {x ^ {2}}} 2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$
   (Tutaj n ! oznacza silnię n . Jeden dowód na to, że jest irracjonalny, e wykorzystuje specjalny przypadek tego wzoru).
3. Zdefiniuj e ^x jako unikalną liczbę y > 0 taką, że
   $${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {y} {\ Frac {dt} {t}} = x.}$$
   Jest to odwrotność funkcji logarytmu naturalnego , która jest zdefiniowana przez tę całkę.
4. Zdefiniuj e ^x jako jedyne rozwiązanie problemu wartości początkowej
   $${\ Displaystyle y '= y, \ quad y (0) = 1.}$$
   (Tutaj y ′ oznacza pochodną y ) .
5. Funkcja wykładnicza e ^x jest unikalną funkcją f z f (1) = e i f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) dla wszystkich x i y , która spełnia jeden z następujących dodatkowych warunków:
   • f jest mierzalne według Lebesgue'a (Hewitt i Stromberg, 1965, ćwiczenie 18.46).
   • f jest ciągła w co najmniej jednym punkcie (Rudin, 1976, rozdział 8, ćwiczenie 6). (Jak pokazano poniżej, jeśli f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) dla wszystkich x i y oraz f jest ciągła w dowolnym pojedynczym punkcie, to f jest koniecznie ciągła wszędzie ).
   • f rośnie . _ (Rosnąca funkcja, która zgadza się z e ^x na liczbach wymiernych, musi być równa e ^x .)
   Ze względu na wyjątkowość należy nałożyć dodatkowy warunek, taki jak powyżej, ponieważ w przeciwnym razie można skonstruować inne funkcje na podstawie liczb rzeczywistych nad liczbami wymiernymi , jak opisali Hewitt i Stromberg. Można też zastąpić f (1) = e i „dodatkowy warunek” pojedynczym warunkiem f′ (0) = 1 .
6. Niech e będzie niepowtarzalną dodatnią liczbą rzeczywistą spełniającą
   $${\ Displaystyle \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {e ^ {h} -1} {h}} = 1.}$$
   Można wykazać, że ta granica istnieje. Następnie zdefiniuj e ^x jako funkcję wykładniczą o tej podstawie. Ta definicja jest szczególnie odpowiednia do obliczania pochodnej funkcji wykładniczej.

Większe domeny

Jednym ze sposobów zdefiniowania funkcji wykładniczej dla dziedzin większych niż dziedzina liczb rzeczywistych jest najpierw zdefiniowanie jej dla dziedziny liczb rzeczywistych przy użyciu jednej z powyższych charakterystyk, a następnie rozszerzenie jej na większe dziedziny w sposób, który zadziałałby dla dowolnej funkcji analitycznej .

Możliwe jest również wykorzystanie charakterystyk bezpośrednio dla większej dziedziny, choć mogą pojawić się pewne problemy. (1), (2) i (4) wszystkie mają sens dla dowolnych algebr Banacha . (3) stanowi problem dla liczb zespolonych, ponieważ istnieją nierównoważne ścieżki, wzdłuż których można całkować, a (5) nie jest wystarczające. Na przykład funkcja f zdefiniowana (dla x i y rzeczywista) jako

$${\ Displaystyle f (x + iy) = e ^ {x} (\ cos(2y)+i\sin(2y))=e^{x+2iy}}$$

spełnia warunki w (5) nie będąc funkcją wykładniczą x + iy . Aby uczynić (5) wystarczającym dla dziedziny liczb zespolonych, można albo założyć, że istnieje punkt, w którym f jest mapą konforemną , albo też zastrzec, że

$${\ displaystyle f (i) = \ cos (1) + i \ sin (1).}$$

W szczególności alternatywny warunek w (5), że $,$ stanowi, że jest .

Dowód na to, że każda charakterystyka ma sens

Niektóre z tych definicji wymagają uzasadnienia, aby wykazać, że są dobrze zdefiniowane . Na przykład, gdy wartość funkcji jest zdefiniowana jako wynik procesu ograniczającego (tj. nieskończonego ciągu lub szeregu ), należy wykazać, że taka granica zawsze istnieje.

Charakteryzacja 2

Od

$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo | {\ Frac {x ^ {n + 1} / (n + 1)!} {x ^ {n} / n!}} \right|=\lim _{n\do \infty}\left|{\frac {x}{n+1}}\right|=0<1.}$$

testu ilorazowego wynika , że ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}} jest zbieżny$ dla wszystkich x .

Charakteryzacja 3

Ponieważ całka jest całkowalną funkcją t , wyrażenie całkowe jest dobrze zdefiniowane. Należy wykazać, że funkcja od ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$ do R $+ {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ zdefiniowana przez

$${\ Displaystyle x \ mapsto \ int _ {1} ^ {x} {\ Frac {dt} {t}}}$$

jest bijekcją . Ponieważ 1/ t jest dodatnie dla dodatniego t , ta funkcja jest ściśle rosnąca , stąd iniekcyjna . Jeśli dwie całki

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ Frac {dt} {t}} & = \ infty \\[8pt]\int _{1}^{0}{\frac {dt}{t}}&=-\infty \end{aligned}}}$$

trzymać, to jest również suriekcją . Rzeczywiście, te całki są prawdziwe; wynikają one z testu całkowego i rozbieżności szeregów harmonicznych .

Równoważność charakterystyk

Poniższy dowód pokazuje równoważność pierwszych trzech charakterystyk podanych dla e powyżej. Dowód składa się z dwóch części. Najpierw ustala się równoważność charakterystyk 1 i 2, a następnie ustala się równoważność charakterystyk 1 i 3. Podano również argumenty łączące pozostałe charakterystyki.

Charakteryzacja 1 ⇔ Charakteryzacja 2

Następujący argument jest adaptacją dowodu w Rudin, twierdzenie 3.31, s. 63–65.

Niech ${\ displaystyle x \ geq 0}$ będzie ustaloną nieujemną liczbą rzeczywistą. Definiować

$${\ Displaystyle s_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {\ Frac {x ^ {k}} {k!}}, \ t_ {n} = \ lewo (1 + {\ frac {x}{n}}\prawo)^{n}.}$$

Z twierdzenia dwumianowego ,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} t_ {n} & = \ suma _ {k = 0} ^ {n} {n \ wybierz k }{\frac {x^{k}}{n^{k}}}=1+x+\sum _{k=2}^{n}{\frac {n(n-1)(n-2) \cdots (n-(k-1))x^{k}}{k!\,n^{k}}}\\[8pt]&=1+x+{\frac {x^{2}}{ 2!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)+{\frac {x^{3}}{3!}}\left(1-{\frac {1}{ n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {x^{n}} {n!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {n-1}{n}}\right)\leq s_{n }\end{wyrównane}}}$$

(używając x ≥ 0, aby uzyskać ostateczną nierówność) tak, że

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} t_ {n} \ równoważnik \ limsup _ {n \ do \ infty} s_ {n }=e^{x}}$$

gdzie ex jest w sensie definicji 2. Tutaj trzeba użyć limsupów , ponieważ nie wiadomo, czy t _n ^jest zbieżne . Dla drugiego kierunku, przez powyższe wyrażenie t _n , jeśli 2 ≤ m ≤ n ,

$${\ Displaystyle 1 + x + {\ Frac {x ^ {2}} {2!}} \ lewo (1- {\ Frac {1} {n}} \ prawej) + \ cdots + {\ Frac {x ^ { m}}{m!}}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\cdots \left(1 -{\frac {m-1}{n}}\right)\równoważnik t_{n}.}$$

Ustal m i niech n zbliża się do nieskończoności. Następnie

$${\ Displaystyle s_ {m} = 1 + x + {\ Frac {x ^ {2}} {2!}} + \ cdots + {\ Frac {x ^ {m}} {m !}}\leq \liminf _{n\do \infty }t_{n}}$$

(ponownie, należy użyć liminf , ponieważ nie wiadomo, czy t _n jest zbieżne). Teraz, biorąc powyższą nierówność, pozwalając m zbliżyć się do nieskończoności i łącząc ją z inną nierównością, staje się to

$${\ Displaystyle \ limsup _ {n \ do \ infty} t_ {n} \ równoważnik e ^ {x} \ równoważnik \ liminf _ {n \ do \infty }t_{n}}$$

aby

$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} t_ {n} = e ^ {x}.}$$

Tę równoważność można rozszerzyć na ujemne liczby rzeczywiste, zauważając ${\ textstyle \ lewo (1- {\ frac {r} {n}}\right)^{n}\left(1+{\frac {r}{n}}\right)^{n}=\left(1-{\frac {r^{2}}{ n^{2}}}\right)^{n}}$ i biorąc granicę przy n dążącym do nieskończoności.

Składnik błędu tego wyrażenia granicznego jest opisany przez

$${\ Displaystyle \ lewo (1 + {\ Frac {x} {n} }\right)^{n}=e^{x}\left(1-{\frac {x^{2}}{2n}}+{\frac {x^{3}(8+3x)}{ 24n^{2}}}+\cdots \right),}$$

gdzie stopień wielomianu (w x ) w wyrazie o mianowniku n ^k wynosi 2 k .

Charakteryzacja 1 ⇔ Charakteryzacja 3

Tutaj funkcja logarytmu naturalnego jest zdefiniowana w kategoriach całki oznaczonej, jak powyżej. Zgodnie z pierwszą częścią podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego ,

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} \ ln x = {\ Frac {d} {dx}} \ int _ {1} ^ {x} {\ Frac {1} {t}} \, dt ={\frac {1}{x}}.}$$

Poza tym ${\ textstyle \ ln 1 = \ int _ {1} ^ {1} {\ Frac {dt} {t}} = 0}$

Teraz niech x będzie dowolną ustaloną liczbą rzeczywistą i niech

$${\ Displaystyle y = \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {x} {n}} \ prawo) ^ {n}.}$$

Ln( y ) = x , co implikuje, że y = e ^x , gdzie e ^x jest w sensie definicji 3. Mamy

$${\ Displaystyle \ ln y = \ ln \ lim _ {n \ do \ infty} \ lewo (1 + {\ Frac {x} {n}} \ prawej) ^ {n} = \ lim _ {n \ do \ infty }\ln \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Tutaj wykorzystana jest ciągłość ln( y ), która wynika z ciągłości 1/ t :

$${\ Displaystyle \ ln y = \ lim _ {n \ do \ infty} n \ ln \ lewo (1 + {\ Frac {x} {n}} \ prawej) = \ lim _ {n \ do \ infty}} \frac {x\ln \left(1+(x/n)\right)}{(x/n)}}.}$$

wykorzystano wynik ln a ⁿ = n ln a . Wynik ten można ustalić dla n liczby naturalnej przez indukcję lub całkowanie przez podstawienie. (Rozszerzenie do potęg rzeczywistych musi poczekać, aż ^{ln i exp zostaną ustalone jako odwrotności siebie, tak aby ab} można było zdefiniować dla rzeczywistego b jako e b ^{ln a .} )

$${\ Displaystyle = x \ cdot \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {\ ln \ lewo (1 + h \ prawo) }{h}}\quad {\text{ gdzie }}h={\frac {x}{n}}}$$

$${\ Displaystyle = x \ cdot \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {\ ln \ lewo (1 + h \ prawo) - \ln 1}{h}}}$$

$${\ Displaystyle = x \ cdot {\ Frac {d} {dt}} \ ln t {\ Bigg |} _ {t = 1}}$$

$${\ Displaystyle \! \, = x.}$$

Charakteryzacja 1 ⇔ Charakteryzacja 5

Poniższy dowód jest uproszczoną wersją dowodu Hewitta i Stromberga, ćwiczenie 18.46. Po ${\ Displaystyle f (x + y) = f (x) f (y)}$$)$ dla niezerowej funkcji spełniającej , a następnie udowadnia się, że implikuje ciągłość ${\ Displaystyle f (x) = e ^ {kx}}$ dla trochę k , a na koniec implikuje ${\ Displaystyle f (1) = e}$ k = 1 .

Najpierw kilka elementarnych właściwości spełniających $)$$(x + y) = f ($ są udowodnione, a założenie, że nie jest identyczne zero: ${\ displaystyle f (x)}$

• Jeśli jest wszędzie niezerowe (powiedzmy w x $)$ y niezerowe . Dowód: ${\ Displaystyle f (y) = f (x) f (yx) \ neq 0}$ implikuje ${\ Displaystyle f (x) )\neq 0}$ .
• ${\ displaystyle f (0) = 1}$ . Dowód: ${\ Displaystyle f (x) = f (x + 0) = f (x) f (0)}$ i ${ \displaystyle f(x)}$ jest niezerowe.
• ${\ Displaystyle f (-x) = 1/f (x)}$ . Dowód: ${\ Displaystyle 1 = f (0) = f (xx) = f (x) f (-x)}$ .
• Jeśli jest ciągła w dowolnym miejscu ( powiedzmy w x $)$ y to jest ciągła Dowód: ${\ Displaystyle f (x + \ delta) -f (x) = f (xy) [f (y + \ delta) -f (y)] \ do 0}$ jako ${\ Displaystyle \ delta \ do 0}$ przez ciągłość w y .

Druga $pozytywnego$ że wystarczy x

Jeśli jest funkcją całkowalną Lebesgue'a , to ${\ Displaystyle f (x)}$

$${\ Displaystyle g (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (x ') \, dx'.}$$

Wynika z tego potem

$${\ Displaystyle g (x + y) -g (x) = \ int _ {x} ^ {x + y} f (x ') \, dx' = \ int _ {0} ^ {y} f (x +x')\,dx'=f(x)g(y).}$$

Ponieważ $(x)}$$niezerowe$ , niektóre y można wybrać tak, że ${\ Displaystyle g (y) \ neq 0}$ dla ${\ Displaystyle$ w powyższym wyrażeniu. Dlatego:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (x + \ delta) -f (x) & = {\ Frac {[g (x + \ delta + y) - g (x + \ delta)] - [g (x + y) )-g(x)]}{g(y)}}\\&={\frac {[g(x+y+\delta )-g(x+y)]-[g(x+\delta )-g (x)]}{g(y)}}\\&={\frac {f(x+y)g(\delta )-f(x)g(\delta )}{g(y)}}= g(\delta){\frac {f(x+y)-f(x)}{g(y)}}.\end{wyrównane}}}$$

Ostateczne wyrażenie musi osiągnąć zero, ponieważ $i$${\ displaystyle g (0) = 0}$ sol $(x)}$ ciągłe. Wynika z $ciągła$ .

Teraz ${\ Displaystyle f (q) = e ^ {kq}}$ można udowodnić dla pewnego k dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych q . Niech q = n / m dla dodatnich liczb całkowitych n i m . Następnie

$${\ Displaystyle f \ lewo ({\ Frac {n} {m}} \ prawej) = f \ lewo ({\ frac {1}{m}}+\cdots +{\frac {1}{m}}\right)=f\left({\frac {1}{m}}\right)^{n}}$$

przez elementarną indukcję na n . Dlatego $}$ )

$${\ Displaystyle f \ lewo ({\ Frac {n} {m}} \ prawo) = f (1) ^ {n / m} = e ^ {k (n / m)}.}$$

dla ${\ Displaystyle k = \ ln [f (1)]}$ . Jeśli ogranicza się do wartości rzeczywistych ${\ Displaystyle f (x)}$ , to ${\ Displaystyle f (x) = f (x/2) ^ {2} }$ jest wszędzie dodatnie, więc k jest rzeczywiste.

Wreszcie , przez ciągłość, ponieważ dla wszystkich wymiernych $to$ dla wszystkich rzeczywistych , zamknięciem liczb wymiernych liczba rzeczywista (to znaczy dowolne rzeczywiste x można zapisać jako granicę ciągu liczb wymiernych). Jeśli ${\ Displaystyle f (1) = e},$ to k = 1. Jest to równoważne charakteryzacji 1 (lub 2 lub 3), w zależności od tego, której równoważnej definicji e się używa.

Charakteryzacja 2 ⇔ Charakteryzacja 4

Niech n będzie nieujemną liczbą całkowitą. W sensie definicji 4 i przez indukcję ${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} = y}$ .

Dlatego ${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {n} y} {dx ^ {n}}} {\ Bigg |} _ {x = 0} = y (0) = 1. }$

Korzystając z szeregu Taylora ,

$${\ Displaystyle y = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}} \, x ^ {n} = \ suma _ { n=0}^{\infty}{\frac {1}{n!}}\,x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n} }{N!}}.}$$

To pokazuje, że definicja 4 implikuje definicję 2.

W rozumieniu definicji 2,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {dx}} e ^ {x} & = {\ Frac {d} {dx}} \ lewo$$

Poza tym ${\ textstyle e ^ {0} = 1 + 0 + {\ Frac {0 ^ {2}} {2!}} + {\ Frac {0 ^ {3}} {3!}} + \cdots =1.}$ To pokazuje, że definicja 2 implikuje definicję 4.

Charakterystyka 2 ⇒ Charakterystyka 6

W rozumieniu definicji 2,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {e ^ {h} -1} {h}} & =\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\left(1+h+{\frac {h^{2}}{2!}}+{\frac {h ^{3}}{3!}}+{\frac {h^{4}}{4!}}+\cdots \right)-1\right)\\&=\lim _{h\to 0} \left(1+{\frac {h}{2!}}+{\frac {h^{2}}{3!}}+{\frac {h^{3}}{4!}}+\ cdots \right)\\&=1\end{wyrównane}}}$$

Charakteryzacja 3 ⇔ Charakteryzacja 4

Charakterystyka 3 polega na zdefiniowaniu logarytmu naturalnego przed zdefiniowaniem funkcji wykładniczej. Pierwszy,

$${\ Displaystyle \ log x: = \ int _ {1} ^ {x} {\ Frac {dt} {t}}}$$

Oznacza to, że logarytm naturalny $)$ obszarowi pod wykresem pomiędzy $\ displaystyle t = 1}$$i$ t $} styl wyświetlania t=x}$ . Jeśli $ten$ się jako ujemny Następnie ${\ displaystyle \ exp}$ jest definiowane jako odwrotność ${\ displaystyle \ log}$ , co oznacza, że

$${\ Displaystyle \ exp (\ log (x)) = x {\ tekst {i}} \ log (\ exp ( x))=x}$$

z definicji funkcji odwrotnej. Jeśli $jest$ dodatnią liczbą rzeczywistą, to $)) }$ ) $($ . Wreszcie ${\ displaystyle e}$$jest$ zdefiniowany jako liczba taka, że $= 1}$ . Można wtedy pokazać, że ${\ Displaystyle e ^ {x} = \ exp (x)}$ :

$${\ Displaystyle e ^ {x} = \ exp (x \ log (e)) = \ exp (x)}$$

Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem rachunku różniczkowego pochodna ${\ textstyle \ log x = {\ Frac {1} {x}}}$ . Jesteśmy teraz w stanie udowodnić, że $}{dx}}e^{x}=e^{x}$ d problem wartości podany w charakterystyce 4:

$${\ Displaystyle {\ begin{aligned}{\text{Let }}y&=e^{x}=\exp(x)\\\log(y)&=\log(\exp(x))=x\\{\frac { 1}{y}}{\frac {dy}{dx}}&=1\\{\frac {dy}{dx}}&=y=e^{x}\end{wyrównane}}}$$

$_$ musimy _ Oczywiście znacznie łatwiej jest pokazać, że charakterystyka 4 implikuje charakterystykę 3. Jeśli $unikalną$ funkcją $}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ do$$= 1}$ { $) =$ satysfakcjonujące ( 0 ${ \displaystyle \log }$ można zdefiniować jako jego odwrotność. Pochodną ${\ displaystyle \ log}$ można znaleźć w następujący sposób:

$${\ Displaystyle y = \ log x \ implikuje x = e ^ {y}}$$

Jeśli zróżnicujemy obie strony $otrzymamy$ ,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ Frac {dx} {dy}} i = e ^ {y} \\ {\ Frac { dy}{dx}}&={\frac {1}{e^{y}}}={\frac {1}{x}}\end{wyrównane}}}$$

Dlatego,

$${\ Displaystyle \ int _ {1} ^ {x} \ Frac {1 }{t}}dt=\left[\log t\right]_{1}^{x}=\log x-\log 1=\log x-0=\log x}$$

Charakterystyka 5 ⇒ Charakterystyka 4

Warunki f' (0) = 1 i f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) implikują oba warunki w charakterystyce 4. Rzeczywiście, warunek początkowy f (0) = 1 otrzymuje się dzieląc obie strony równanie

$${\ Displaystyle f (0) = f (0 + 0) = f (0) f (0)}$$

przez f (0) , a warunek, że f′ ( x ) = f ( x ) wynika z warunku, że f′ (0) = 1 i definicji pochodnej w następujący sposób:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rccccccc} f '(x) & = & \ lim \ ograniczenia _ {h \ do 0} {\ Frac {f (x + h) -f (x)} {h} }&=&\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(x)f(h)-f(x)}{h}}&=&\lim \limits _{h\to 0 }f(x){\frac {f(h)-1}{h}}\\[1em]&=&f(x)\lim \limits _{h\do 0}{\frac {f(h) -1}{h}}&=&f(x)\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(0+h)-f(0)}{h}}&=&f(x) f'(0)=f(x).\end{tablica}}}$$

Charakterystyka 6 ⇒ Charakterystyka 4

W rozumieniu definicji 6,

$${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dx}} e ^ {x} = \ lim _ {h \ do 0} {\ Frac {e ^ {x + h} -e ^ {x}} {h}} =e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}.}$$

${\ displaystyle e ^ {0} = 1} .$ mówiąc , dlatego definicja 6 implikuje definicję 4. mi

• Walter Rudin , Zasady analizy matematycznej , wydanie 3 (McGraw-Hill, 1976), rozdział 8.
• Edwin Hewitt i Karl Stromberg, Analiza rzeczywista i abstrakcyjna (Springer, 1965).