Pusta suma

W matematyce pusta suma lub suma zerowa to suma , w której liczba wyrazów wynosi zero. Naturalnym sposobem rozszerzenia niepustych sum jest pozwolenie, aby pusta suma była addytywną tożsamością .

Niech za $\ Displaystyle a_ {1}}$ , ${\ Displaystyle a_ {2}}$ , ${\ Displaystyle a_ {3}}$ ... będzie sekwencją liczb i niech za 1 {\ Displaystyle a_ {1}}

{\ Displaystyle s_ {m} = \ suma _ {i = 1} ^ {m} a_ {i} = a_ {1} + \ cdots +a_{m}}

będzie sumą pierwszych m wyrazów ciągu. To spełnia powtarzalność

{\ Displaystyle s_ {m} = s_ {m-1} + a_ {m}}

pod warunkiem, że zastosujemy następującą naturalną konwencję: ${\ displaystyle s_ {0}=0}$ . Innymi słowy, „suma” $terminem$ daje wynik do tego jednego terminu, podczas gdy „suma” $warunków$ daje wynik 0. Zezwalając „suma” zawierająca tylko 1 lub 0 wyrazów zmniejsza liczbę przypadków, które należy uwzględnić w wielu wzorach matematycznych. Takie „sumy” są naturalnymi punktami wyjścia w dowodach indukcyjnych , a także w algorytmach. Z tych powodów rozszerzenie „pusta suma to zero” jest standardową praktyką w matematyce i programowaniu komputerowym (zakładając, że dziedzina ma element zerowy ). Z tego samego powodu pusty iloczyn jest traktowany jako tożsamość multiplikatywna .

W przypadku sum innych obiektów (takich jak wektory , macierze , wielomiany ) wartość pustego sumowania jest traktowana jako jego addytywna tożsamość .

Przykłady

Puste kombinacje liniowe

W algebrze liniowej podstawą przestrzeni wektorowej V jest liniowo niezależny podzbiór B taki, że każdy element V jest kombinacją liniową B . Konwencja sumy pustej pozwala zerowymiarowej przestrzeni wektorowej V = {0} mieć podstawę, a mianowicie zbiór pusty.

Zobacz też