Strefowe sferyczne harmoniczne

W matematycznym badaniu symetrii obrotowej strefowe sferyczne harmoniczne są specjalnymi sferycznymi harmonicznymi , które są niezmienne podczas obrotu wokół określonej ustalonej osi. Strefowe funkcje sferyczne są szerokim rozszerzeniem pojęcia sferycznych harmonicznych strefowych, aby umożliwić bardziej ogólną grupę symetrii .

Na dwuwymiarowej kuli unikalna sferyczna harmoniczna strefowa niezmiennika stopnia ℓ pod wpływem obrotów ustalających biegun północny jest reprezentowana we współrzędnych sferycznych przez

$${\ Displaystyle Z ^ {(\ ell)} (\ teta, \ phi) = P _ {\ ell} (\ cos \ teta)}$$

gdzie P _ℓ jest wielomianem Legendre'a stopnia ℓ . Ogólna strefowa harmoniczna sferyczna stopnia ℓ jest oznaczona przez ${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {y})}$ , gdzie x jest a punkt na kuli reprezentujący ustaloną oś, a y jest zmienną funkcji. Można to uzyskać przez obrót podstawowej harmonicznej strefowej ${\ Displaystyle Z ^ {(\ ell)} (\ teta, \ phi).}$

W n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej strefowe harmoniczne sferyczne definiuje się następująco. Niech x będzie punktem na ( n −1)-sferze. Zdefiniuj jako podwójną reprezentację funkcjonału liniowego ${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)}}$

$${\ Displaystyle P \ mapsto P. (\ mathbf {x})}$$

w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta H _ℓ sferycznych harmonicznych stopnia ℓ. Innymi słowy, zachodzi następująca właściwość odtwarzania :

$${\ Displaystyle Y (\ mathbf {x}) = \ int _ {S ^ {n-1} }Z_{\mathbf {x}}^{(\ell)}(\mathbf {y})Y(\mathbf {y})\,d\Omega (y)}$$

dla wszystkich Y ∈ H. _ℓ . Całka jest pobierana w odniesieniu do niezmiennej miary prawdopodobieństwa.

Związek z potencjałami harmonicznymi

Harmoniczne strefowe pojawiają się naturalnie jako współczynniki jądra Poissona dla kuli jednostkowej w R ⁿ : dla wektorów jednostkowych x i y ,

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ omega _ {n-1}}} {\ Frac {1-r ^ {2}}} |\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n}}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{( k)}(\mathbf {y}),}$$

gdzie $.$ polem powierzchni sfery (n- Są one również spokrewnione z jądrem Newtona poprzez

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} | ^ {n-2}}} = \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {n, k }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} | }^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$

gdzie x , y ∈ R ⁿ i stałe c _{n , k} są dane przez

$${\ Displaystyle c_ {n, k} = {\ Frac {1} {\ omega _ {n-1}}} {\ Frac {2k + n-2} {(n-2)}}.}$$

Współczynniki szeregu Taylora jądra Newtona (przy odpowiedniej normalizacji) są właśnie wielomianami ultrasferycznymi . Zatem strefowe sferyczne harmoniczne można wyrazić w następujący sposób. Jeśli α = ( n −2)/2 , to

$${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf { y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$

gdzie do _{n , ℓ} to stałe powyżej i jest wielomianem ultrasferycznym stopnia ℓ do $\ Displaystyle C _ {\ ell} ^ {(\ alfa)}} .$

Nieruchomości

• Strefowe harmoniczne sferyczne są rotacyjnie niezmienne, co oznacza, że
  $${\ Displaystyle Z _ {R \ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (R \ mathbf {y}) = Z_ {\ mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$$
  dla każdej transformacji ortogonalnej R . I odwrotnie, każda funkcja f ( x , y ) na S ^{n −1} × S ^{n −1} , która jest sferyczną harmoniczną w y dla każdego ustalonego x , i która spełnia tę właściwość niezmienniczości, jest stałą wielokrotnością stopnia ℓ harmonicznej strefowej.
• Jeśli Y ₁ , ..., ℓ _Y d _jest ortonormalną bazą H , to
  $${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {y}) = \ suma _ {k = 1} ^ {d} Y_ {k} (\ mathbf {x}) { \overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• Ocena przy x = y daje
  $${\ Displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {x}) = \ omega _ {n-1} ^ {- 1} \ dim \ mathbf {H} _ {\ ell }.}$$

•   Stein, Eliasz ; Weiss, Guido (1971), Wprowadzenie do analizy Fouriera w przestrzeniach euklidesowych , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9 .