Superpotencjał

W fizyce teoretycznej superpotencjał jest funkcją w supersymetrycznej mechanice kwantowej . Biorąc pod uwagę superpotencjał, wyprowadzane są dwa „potencjały partnerów”, z których każdy może służyć jako potencjał w równaniu Schrödingera . Potencjały partnera mają to samo widmo , poza możliwą wartością własną równą zero, co oznacza, że układy fizyczne reprezentowane przez dwa potencjały mają te same charakterystyczne energie, z wyjątkiem możliwego stanu podstawowego o zerowej energii.

Przykład jednowymiarowy

Rozważmy jednowymiarową , nierelatywistyczną cząstkę z dwustanowym wewnętrznym stopniem swobody zwanym „ spinem ”. (Nie jest to ^{całkiem powszechne pojęcie spinu spotykane w} nierelatywistycznej mechanice kwantowej , ponieważ „ prawdziwy ” spin dotyczy tylko cząstek w przestrzeni trójwymiarowej ). odpowiednio w cząstkę „spin down” i odwrotnie. Ponadto weź b i b ^† należy znormalizować tak, że antykomutator { b , b ^† } jest równy 1 i przyjmijmy, że b ² jest równe 0. Niech p reprezentuje pęd cząstki, a x reprezentuje jej położenie za pomocą [ x , p ]=i, gdzie używaj jednostek naturalnych , tak aby ${\ displaystyle \ hbar = 1}$ . niech W (superpotencjał) reprezentują dowolną _{różniczkowalną} funkcję x i definiują operatory supersymetryczne Q 1 i Q ₂ jako

{\ Displaystyle Q_ {1} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo [(p-iW) b + (p+iW)b^{\sztylet }\right]}

{\ Displaystyle Q_ {2} = {\ Frac {i} {2}} \ lewo [(p-iW) b- (p + iW) b ^ {\ sztylet} \ prawo]}

Operatory Q ₁ i Q ₂ są samosprzężone. Niech będzie Hamiltonian

{\ Displaystyle H = \ {Q_ {1}, Q_{1}\}=\{Q_{2},Q_{2}\}={\frac {p^{2}}{2}}+{\frac {W^{2}}{2}} +{\frac {W'}{2}}(bb^{\sztylet}-b^{\sztylet}b)}

gdzie W' oznacza pochodną W . Zauważ też, że { Q ₁ , Q ₂ } = 0. W tych warunkach powyższy układ jest modelem zabawkowym o supersymetrii N = 2. Stany spin down i spin up są często określane odpowiednio jako stany „ bozonowe ” i „ fermionowe ”, w analogii do kwantowej teorii pola . Z tymi definicjami, Q ₁ i Q ₂ mapować stany „bozonowe” na stany „fermionowe” i odwrotnie. Ograniczenie do sektorów bozonowych lub fermionowych daje dwa potencjały partnerów określone przez

{\ Displaystyle H = {\ Frac {p ^ {2}} {2}} + {\ Frac {W ^ {2}} {2}} \ pm { \frac {W'}{2}}}

W czterech wymiarach czasoprzestrzennych

W supersymetrycznych kwantowych teoriach pola z czterema wymiarami czasoprzestrzennymi , które mogą mieć jakiś związek z naturą, okazuje się, że pola skalarne powstają jako najniższa składowa chiralnego superpola , które ma tendencję do automatycznego przyjmowania wartości zespolonych. Możemy zidentyfikować złożony koniugat chiralnego superpola jako antychiralnego superpola. Istnieją dwa możliwe sposoby uzyskania akcji z zestawu superpól:

$superpole$ całej _ $_$ ,

Lub

$x_ {$ $styl wyświetlania {\bar {\theta}}}$ superprzestrzeni, rozpiętej na , $nie$ na θ $displaystyle$ .

Druga opcja mówi nam, że dowolna funkcja holomorficzna zbioru chiralnych superpól może pojawić się jako termin w Lagrange'a, który jest niezmienny w warunkach supersymetrii. W tym kontekście holomorficzny oznacza, że funkcja może zależeć tylko od chiralnych superpól, a nie od ich złożonych koniugatów. Funkcję taką możemy nazwać superpotencjałem W. Fakt, że W jest holomorficzny w chiralnych superpolach, pomaga wyjaśnić, dlaczego teorie supersymetryczne są względnie wykonalne, ponieważ pozwala na użycie potężnych narzędzi matematycznych ze złożonej analizy . Wiadomo bowiem, że W nie otrzymuje perturbacyjnych poprawek, wynik określany jako perturbacyjne twierdzenie o braku renormalizacji . Należy zauważyć, że procesy nieperturbacyjne mogą to naprawić, na przykład poprzez udział w funkcjach beta z powodu instantonów .

Stephen P. Martin, Elementarz supersymetrii . arXiv : hep-ph/9709356 .
B. Mielnik i O. Rosas-Ortiz, „Faktoryzacja: mały czy wielki algorytm?”, J. Phys. O: Matematyka. Rdz 37: 10007-10035, 2004
Cooper, Fred; Khare, Avinash; Sukhatme, Uday (1995). „Supersymetryczna mechanika kwantowa”. Raporty fizyczne . 251 : 267–385. arXiv : hep-th/9405029 . Bibcode : 1995PhR...251..267C . doi : 10.1016/0370-1573(94)00080-M .