Symbole Infelda-Van der Waerdena

Infelda -Van der Waerdena , czasami nazywane po prostu symbolami Van der Waerdena , są niezmiennym symbolem związanym z grupą Lorentza stosowaną w kwantowej teorii pola . Zostały nazwane na cześć Leopolda Infelda i Bartela Leenderta van der Waerdena .

Symbole Infelda-Van der Waerdena to notacja indeksowa dla mnożenia Clifforda kowektorów na lewoskrętnych spinorach , dając prawoskrętnych spinorach lub odwrotnie, tj. Są one poza ukośnymi blokami macierzy gamma . Symbole są zwykle oznaczane w notacji Van der Waerdena jako

$${\ Displaystyle \ sigma ^ {m} {} _ {\ alfa {\ kropka {\ beta}}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ bar {\ sigma}} ^ {m \, {\ kropka {\alfa}}\beta}.}$$

i tak mają jeden indeks Lorentza ( m ), jeden lewoskrętny (grecki bez kropek) i jeden prawoskrętny (grecki z kropkami) indeks spinora Weyla. Satysfakcjonują

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma ^ {m} {} _ {\ alfa {\ kropka {\ beta}}} {\ bar {\ sigma}} ^ {n \, {\ kropka {\ beta} }\gamma}+\sigma ^{n}{}_{\alpha {\dot {\beta}}}{\bar {\sigma}}^{m\,{\dot {\beta}}\gamma} &=2\delta _{\alpha}^{\gamma}g^{mn},\quad \\\sigma ^{m}{}_{\alpha {\dot {\beta}}}{\bar { \sigma }}^{n\,{\kropka {\gamma}}\alpha}+\sigma ^{n}{}_{\alpha {\dot {\beta}}}{\bar {\sigma}} ^{m\,{\dot {\gamma}}\alpha}&=2\delta _{\dot {\beta}}^{\dot {\gamma}}g^{mn}.\koniec {wyrównane} }}$$

Nie muszą one jednak być stałe i dlatego można je sformułować na zakrzywionej czasoprzestrzeni.

Tło

Istnienie tego niezmiennego symbolu wynika z wyniku w teorii reprezentacji grupy Lorentza , a właściwie jej algebry Liego. Oznaczanie nieredukowalnych reprezentacji przez spinor i jego złożone sprzężone reprezentacje to lewe i prawe podstawowe reprezentacje ${\ Displaystyle (j, {\ bar {\ jmath}})}$

${\ Displaystyle ({\ tfrac {1} {2}}, 0)}$$\ Displaystyle (0, {\ tfrac {1} {2}}),}$ (

podczas gdy wektory styczne żyją w reprezentacji wektorowej

${\ Displaystyle ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}}).}$

Iloczyn tensorowy jednej podstawowej reprezentacji lewej i prawej jest reprezentacją wektorową ${\ Displaystyle ({\ tfrac {1} {2}}, 0 )\otimes (0,{\tfrac {1}{2}})=({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$ . Podwójne stwierdzenie mówi, że iloczyn tensorowy podstawowych reprezentacji wektorowych, lewej i prawej zawiera trywialną reprezentację który w rzeczywistości jest generowany przez konstrukcję reprezentacji algebry Liego za pomocą algebry Clifforda (patrz poniżej)

$${\ Displaystyle ({\ tfrac {1} {2}}, 0) \ otimes (0, {\ tfrac {1} {2}}) \ otimes ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1}{2}})=(0,0)\oplus \cdots .}$$

Symbole Infelda-Van der Waerdena i reprezentacje algebry Clifforda

Rozważmy przestrzeń dodatnich spinorów Weyla lorentzowskiej przestrzeni wektorowej $(T, g)}$$Displaystyle$ podwójnym ${\ Displaystyle (T ^ {\ vee) },g^{\vee})}$ . Wtedy ujemne spinory Weyla można utożsamiać z przestrzenią wektorową ${\ Displaystyle {\ bar {S}} ^ {\ vee}}$ złożonych sprzężonych podwójnych spinorów. Spinory Weyla implementują „dwie połówki reprezentacji algebry Clifforda”, tj. pochodzą z mnożenia przez kowektory zaimplementowane jako mapy

${\ Displaystyle \ sigma: T ^ {\ vee} \ do \ operatorname {Hom} (S, {\ bar {S}} ^ {\ vee}) }$

I

${\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}}: T ^ {\ vee} \ do \ operatorname {Hom} ({\ bar {S}} ^ {\vee}, S)}$

które nazwiemy mapami Infelda-Van der Waerdena. Zauważ, że w naturalny sposób możemy również myśleć o mapach jako o mapie seskwiliniowej łączącej wektor z lewym i prawym spinorem

${\ Displaystyle \ sigma \ w T \ otimes {\ bar {S}} ^ {\ vee} \ otimes S ^ {\ vee }\cong \mathrm {Hom} ({\bar {S}}\otimes S,T)}$

odpowiednio ${\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}} \ w T \ otimes S \ otimes {\ bar {S}} \cong \mathrm {Hom} (S^{\vee}\otimes {\bar {S}}^{\vee},T)}$ .

To, że mapy Infelda-Van der Waerdena implementują „dwie połówki reprezentacji algebry Clifforda”, oznacza, że ​​dla kowektorów za $\ Displaystyle a, b \ w T ^ {\ vee}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}} (a) \ sigma (b) + {\bar {\sigma}}(b)\sigma (a)=2g^{\vee}(a,b)1_{S}}$

odp.

${\ Displaystyle \ sigma (a) {\ bar {\ sigma}} (b )+\sigma (b){\bar {\sigma }}(a)=2g^{\vee}(a,b)1_{{\bar {S}}^{\vee}}}$ ,

więc jeśli zdefiniujemy

$\ Displaystyle \ gamma = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i {\ bar {\ sigma}} \\\ sigma & 0 \ koniec { pmatrix}}:T^{\vee}\to \mathrm {Koniec} (S\oplus {\bar {S}}^{\vee})}$

Następnie

${\ Displaystyle \ gamma (a) \ gamma (b) + \ gamma (b) \ gamma (a) = 2g ^ {\ vee} (a, b) 1_ {S \ oplus {\ bar {S}} ^ { \vee }}.}$

Dlatego ${\ Displaystyle \ gamma}$ rozciąga się na właściwą reprezentację algebry Clifforda ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} (T ^ {\ vee} ,g^{\vee})\to \mathrm {Koniec} (S\oplus {\bar {S}}^{\vee})}$ .

Mapy Infelda – Van der Waerdena są rzeczywiste (lub hermitowskie) w tym sensie, że złożone sprzężone mapy dualne

${\ Displaystyle \ sigma ^ {\ sztylet} (a): S \ mathop {\ do} \ limity ^{\bar {\ }}{\bar {S}}\mathop {\longrightarrow} \limits ^{\sigma ^{\vee}(a)}S^{\vee}\mathop {\to} \limits ^{\bar {\ }}{\bar {S}}^{\vee}}$

pokrywa się (dla prawdziwego współwektora ${\ displaystyle a}$ ):

${\ Displaystyle \ sigma (a) = \ sigma ({\ bar {a}}) ^ {\ sztylet}}$ .

Podobnie mamy ${\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}} (a) = {\ bar {\ sigma}} ({\ bar {a}}) ^ { \sztylet }}$ .

Teraz symbole Infeld the $T}$$są$ składnikami map i w odniesieniu do podstaw i $\$${\ Displaystyle S}$ z indukowanymi bazami na ${\ Displaystyle T ^ {\ vee}}$ i ${\ Displaystyle {\ bar {S}} ^ {\ vee}}$ . Konkretnie, jeśli T jest przestrzenią styczną w punkcie O o lokalnych współrzędnych ${\ Displaystyle x ^ {m}}$ ( $= 0, \ ldots, 3}$$displaystyle T}$ ) tak, że $\ Displaystyle x ^ {m}}$ podstawą dla ${$ i ${\ Displaystyle dx ^ {m}}$ jest podstawą dla ${\ Displaystyle T ^ {\ vee}}$ i ${\ Displaystyle s_ {\ alfa}}$ ( ${\ Displaystyle \ alfa = 0,1}$ ) jest podstawą dla ${\ Displaystyle S}$ , ${\ Displaystyle s ^ {\ alfa}}$ jest podwójną podstawą dla ${\ Displaystyle S ^ {\ vee}}$ ze złożoną sprzężoną podwójną podstawą ${\ Displaystyle {\ bar {s}} ^ {\ kropka {\ alfa}}}$ z ${\ Displaystyle {\ bar {S}} ^ {\ vee}}$ , a następnie

${\ Displaystyle \ sigma (dx ^ {m}) (s_ {\ alfa}) = \ sigma _ {\ alfa {\ kropka { \beta}}} ^ {m}{\bar {s}}^{\kropka {\beta}}}$

${\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}} (dx ^ {m}) ({\ bar {s}} ^ {\ kropka {\ alfa}}) = {\ bar {\ sigma}} ^ {m, { \dot {\alfa}}\beta}s_{\beta}}$

Używając lokalnych ramek wiązki (współ)stycznej i wiązki spinorowej Weyla, konstrukcja przenosi się do rozmaitości różniczkowalnej z wiązką spinorową.

Aplikacje

Symbole mają fundamentalne znaczenie dla obliczeń w $teorii$ pola w zakrzywionej czasoprzestrzeni oraz w supersymetrii . W obecności tetrady $lutowania ” lokalnych indeksów Lorentza$ indeksów stycznych, wersja zakontraktowana ${\mu }{}_{\alpha {\dot {\beta}}}}$${\ Displaystyle \ sigma$ można również traktować jako formę lutowniczą do budowy wektora stycznego z pary lewych i prawych spinorów Weyla.

Konwencje

W płaskiej przestrzeni Minkowskiego standardowa reprezentacja komponentów jest wyrażona w macierzach Pauliego , stąd notacja ${\ displaystyle \ sigma}$ . W bazie ortonormalnej ze standardową ramką spinową konwencjonalne komponenty są

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma ^ {0} {} _ {\ alfa {\ kropka {\ beta}}} \ & {\ kropka {=}} \ \ delta _ {\ alfa {\ kropka { \beta}}}\,,\\\sigma ^{i}{}_{\alpha {\dot {\beta}}}\ &{\dot {=}}\ (\sigma ^{i})_ {\alpha {\kropka {\beta}}}\,,\\{\bar {\sigma}}^{0\,{\dot {\alpha}}\beta}\ &{\kropka {=}} \ \delta ^{{\dot {\alpha}}\beta}\,,\\{\bar {\sigma}}^{i\,{\dot {\alpha}}\beta}\ &{\dot {=}}\ -(\sigma ^{i})^{{\kropka {\alpha}}\beta}\,.\end{wyrównane}}}$$

Zauważ, że są to bloki macierzy gamma w konwencji chiralności Weyla . Istnieje jednak wiele konwencji.