Symplektyczna wiązka spinorowa

W geometrii różniczkowej , biorąc pod uwagę strukturę metaplektyczną ${\ Displaystyle \ pi _ {\ mathbf {P}} \ okrężnica {\ mathbf {P}} \ do M \,}$ na a ${\ Displaystyle 2n }$ -wymiarowa rozmaitość symplektyczna ${\ Displaystyle (M, \ omega), \,}$ symplektyczna wiązka spinorowa to wiązka przestrzenna Hilberta ${\ Displaystyle \ pi _ {\ mathbf {Q}} \ okrężnica {\ mathbf {Q}} \ do M \,}$ związane ze strukturą metaplektyczną poprzez reprezentację metaplektyczną. Metaplektyczna reprezentacja grupy metaplektycznej — podwójne pokrycie grupy symplektycznej — daje początek wiązce wektorów rang nieskończonych ; jest to symplektyczna konstrukcja spinorowa ze względu na Bertrama Kostanta .

Sekcja symplektycznej $nazywana$ spinorowej jest symplektycznym polem spinorowym .

Definicja formalna

Niech ${\ Displaystyle ({\ mathbf {P}}, F _ {\ mathbf {P}})}$ będzie strukturą metaplektyczną na rozmaitości symplektycznej ${\ Displaystyle (M, \ omega ), \,}$ , czyli ekwiwariantne uniesienie wiązki symplektycznej . ${\ Displaystyle \ pi _ {\ mathbf {R}} \ okrężnica {\ mathbf {R}} \ do M \, }$ względem podwójnego pokrycia ${\ Displaystyle \ rho \ okrężnica {\ operatorname {MP}} (n, {\ mathbb {R}}) \ do {\ operatorname {Sp}} (n, {\ mathbb {R}}). \,}$

Symplektyczna wiązka spinorowa jest zdefiniowana jako wiązka przestrzenna Hilberta ${\ displaystyle {\ mathbf {Q}} \,}$

${\ Displaystyle {\ mathbf {Q}} = {\ mathbf {P}} \ razy _ {\ mathfrak {m}} L ^ {2} ({\ mathbb {R } }^{n})\,}$

związany ze strukturą metaplektyczną $reprezentację$ metaplektyczną $}$$mathfrak {m} }\dwukropek {\mathrm {Mp}}(n,{\mathbb {R}})\do {\mathrm {U}}(L^{2}({\mathbb {R}}^{n})) ,\$ zwany także reprezentacją M ${\ Displaystyle {\ operatorname {MP}} (n, {\ mathbb {R}}). \,}$ Tutaj notacja ${\ Displaystyle {\ operatorname {U}} ({\ mathbf {W} })\,}$ oznacza grupę operatorów unitarnych działających na przestrzeni Hilberta ${\ Displaystyle {\ mathbf {W}}. \,}$

Reprezentacja Segala – Shale – Weila jest nieskończenie wymiarową jednostkową reprezentacją grupy metaplektycznej ${\ Displaystyle {\ operatorname {Mp}} (n, {\ mathbb {R}})}$ na przestrzeni wszystkie kwadratowe funkcje całkowalne Lebesgue'a o wartościach zespolonych ${\ Displaystyle L ^ {2} ({\ mathbb {R}} ^ {n}). \,}$ Ze względu na nieskończony wymiar reprezentacja Segal – Shale – Weil nie jest tak łatwa w obsłudze.

Dalsza lektura

•   Habermann, Katarzyna; Habermann, Lutz (2006), Wprowadzenie do symplektycznych operatorów Diraca , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33420-0