System monogeniczny

W mechanice klasycznej układ fizyczny nazywamy układem monogenicznym , jeżeli działającą na układ siłę można przedstawić w określonej, szczególnie dogodnej postaci matematycznej. Systemy, które są zwykle badane w fizyce, są monogeniczne. Termin ten został wprowadzony przez Corneliusa Lanczosa w jego książce The Variational Principles of Mechanics (1970).

W mechanice Lagrange'a właściwość bycia monogenicznym jest warunkiem koniecznym, aby pewne różne sformułowania były matematycznie równoważne. Jeśli układ fizyczny jest zarówno układem holonomicznym , jak i układem monogenicznym, to możliwe jest wyprowadzenie równań Lagrange'a z zasady d'Alemberta ; możliwe jest również wyprowadzenie równań Lagrange'a z zasady Hamiltona .

Definicja matematyczna

W układzie fizycznym, jeśli wszystkie siły, z wyjątkiem sił wymuszających, można wyprowadzić z uogólnionego potencjału skalarnego, a ten uogólniony potencjał skalarny jest funkcją uogólnionych współrzędnych , uogólnionych prędkości lub czasu, to układ ten jest monogeniczny system .

Wyrażony za pomocą równań dokładny związek między $a$ uogólnionym potencjałem ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} (q_ {1}, \ q_ {2}, \ \ kropki, \ q_ {N}, \ {\ kropka {q}} _ {1}, \ {\ kropka { q}}_{2},\ \kropki ,\ {\kropka {q}}_{N},\ t)}$ jest następujące:

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i} = - {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {V}}} {\ częściowe q_ {i}}} + {\ Frac {d} {dt}} \left({\frac {\częściowe {\mathcal {V}}}{\częściowe {\dot {q_{i}}}}}\right);}$

gdzie $uogólniona$ współrzędna $,$ uogólniona $,$ a

Jeśli uogólniony potencjał w układzie monogenicznym zależy tylko od uogólnionych współrzędnych, a nie od uogólnionych prędkości i czasu, to układ ten jest układem konserwatywnym . Zależność między uogólnioną siłą a uogólnionym potencjałem jest następująca:

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {i} = - {\ Frac {\ częściowe {\ mathcal {V}}} {\ częściowe q_ {i}}}}$ .

Zobacz też

• skleronomiczny