System relatywistyczny (matematyka)

W matematyce nieautonomiczny układ równań różniczkowych zwyczajnych $}}$ się jako równanie dynamiczne na wiązce gładkich włókien. ${\ Displaystyle Q \ do \ mathbb {$ R . Na przykład dotyczy to nierelatywistycznej mechaniki nieautonomicznej , ale nie mechaniki relatywistycznej . Aby opisać mechanikę relatywistyczną , należy rozważyć układ równań różniczkowych zwyczajnych na rozmaitości gładkiej ${\ displaystyle Q}$ , którego fibracja nad $jest$ ustalona. Taki system dopuszcza przekształcenia współrzędnej $\$ zależności od innych współrzędnych na $}$ $displaystyle Q$ . Dlatego nazywa się go systemem relatywistycznym . W szczególności szczególna teoria względności w przestrzeni Minkowskiego ${\ Displaystyle Q = \ mathbb {R} ^ {4}}$ jest tego typu.

Ponieważ przestrzeń konfiguracyjna $,$ relatywistycznego nie ma preferowanego rozwłóknienia w stosunku do $przestrzeń$ systemu relatywistycznego jest rozmaitością dżetów pierwszego rzędu ${\ Displaystyle J_ {1} ^ {1} Q}$ jednowymiarowych podrozmaitości ${\ displaystyle Q}$ . Pojęcie dżetów podrozmaitości uogólnia pojęcie dżetów odcinków wiązek włókien, które są wykorzystywane w kowariantnej klasycznej teorii pola i mechanika nieautonomiczna . Wiązka dżetów pierwszego rzędu jest rzutowa i zgodnie z terminologią szczególnej teorii względności można myśleć o jej włóknach jako o przestrzeniach absolutu ${\ Displaystyle J_ {1} ^ {1} Q \ do Q}$ prędkości układu relatywistycznego. Biorąc pod uwagę współrzędne ${\ Displaystyle (q ^ {0}, q ^ {i})}$ $kolektor$ strumieniowy pierwszego rzędu ${\ Displaystyle J_ {1} ^ {1} Q}$ ma dostosowane współrzędne ${\ Displaystyle (q ^ {0}, q ^ {i}, q_ {0} ^ { i})}$ posiadające funkcje przejścia

{\ Displaystyle q '^ {0} = q' ^ {0} (q ^ {0}, q ^ {k}), \ quad q' ^ {i} = q' ^ {i} (q ^ {0} },q^{k}),\quad {q'}_{0}^{i}=\left({\frac {\częściowe q'^{i}}{\częściowe q^{j}}} q_{0}^{j}+{\frac {\częściowe q'^{i}}{\częściowe q^{0}}}\right)\left({\frac {\częściowe q'^{0} }{\częściowe q^{j}}}q_{0}^{j}+{\frac {\częściowe q'^{0}}{\częściowe q^{0}}}\right)^{-1 }.}

$reprezentowane$ przez elementy wiązki włókien przez ${\ lambda}}}$ ${\ Displaystyle (\ tau , q ^ {\ lambda}, a _ {\ tau}$ $\ Displaystyle Q}$ , gdzie jest styczną wiązką ${$ . Następnie brzmi ogólne równanie ruchu układu relatywistycznego w kategoriach prędkości relatywistycznych

{\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ częściowe _ {\ lambda} G_ {\ mu \ alfa _ {2} \ ldots \ alfa _ {2N}}} {2N}} - \ częściowe _ {\ mu} G_ {\lambda \alpha _{2}\ldots \alpha _{2N}}\right)q_{\tau}^{\mu}q_{\tau}^{\alpha_{2}}\cdots q_{\ tau }^{\alpha _{2N}}-(2N-1)G_{\lambda \mu \alpha _{3}\ldots \alpha _{2N}}q_{\tau \tau }^{\mu } q_{\tau }^{\alpha _{3}}\cdots q_{\tau }^{\alpha _{2N}}+F_{\lambda \mu }q_{\tau }^{\mu }=0 ,}

{\ Displaystyle G _ {\ alfa _ {1} \ ldots \ alfa _ {2N}} q _ {\ tau} ^ {\ alfa _ {1}} \ cdots q_ {\ tau} ^ {\ alfa _ {2N}} =1.}

Na przykład, jeśli $jest$ przestrzenią Minkowskiego z metryką Minkowskiego $równanie$ relatywistycznego ładunku w obecności pola elektromagnetycznego

Zobacz też

Krasil'shchik, IS, Vinogradov, AM, [i in.], „Symetrie i prawa zachowania równań różniczkowych fizyki matematycznej”, Amer. Matematyka Soc., Providence, RI, 1999, ISBN 0-8218-0958-X .
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Formuła geometryczna mechaniki klasycznej i kwantowej (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ( arXiv : 1005.1212 ).