System nieautonomiczny (matematyka)

W matematyce system autonomiczny to dynamiczne równanie na gładkiej rozmaitości . System nieautonomiczny $_$ dynamiczne równanie na $_$ włókien Tak jest na przykład w przypadku mechaniki nieautonomicznej .

Równanie różniczkowe rzędu r na wiązce włókien jest reprezentowane przez zamkniętą wiązkę podrzędną wiązki strumieniowej $Displaystyle$ $}}$ ${\ displaystyle Q \ do \ mathbb {R}}$ R . $różniczkowym, które jest algebraicznie$ dynamiczne na dla pochodnych wyższego rzędu.

W szczególności równanie dynamiczne pierwszego rzędu na wiązce włókien $Gamma$ $jądrem kowariantnej różniczki pewnego połączenia na Q →$ R { \ na ${ \ Displaystyle Q \ do \ mathbb {R}}$ . Biorąc pod uwagę współrzędne wiązki ${\ Displaystyle (t, q ^ {i})}$ na ${\ Displaystyle Q}$ i dostosowane współrzędne ${\ Displaystyle (t, q ^ {i}, q_ {t} ^ {i})}$ na kolektorze odrzutowym pierwszego rzędu jot $\ displaystyle J ^ {1} Q$ } brzmi równanie dynamiczne pierwszego rzędu

{\ Displaystyle q_ {t} ^ {i} = \ Gamma (t, q ^ {i}).}

Tak jest na przykład w przypadku hamiltonowskiej mechaniki nieautonomicznej .

Równanie dynamiczne drugiego rzędu

{\ Displaystyle q_ {tt} ^ {i} = \ xi ^ {i} (t, q ^ {j}, q_ {t} ^ { J})}

na ${\ Displaystyle Q \ do \ mathbb {R}}$ jest zdefiniowany jako połączenie holonomiczne na $wiązce$ strumieniowej ${\ Displaystyle J ^ {1} Q \ do$ . $równanie$ połączenie na afinicznej dżetu . Ze względu na kanoniczne osadzenie ${\ Displaystyle J ^ {1} Q \ do TQ}$ , jest to równoważne z równaniem geodezyjnym na wiązce stycznej ${\ displaystyle TQ}$ z ${\ displaystyle Q}$ . Równanie ruchu swobodnego w mechanice nieautonomicznej jest przykładem nieautonomicznego równania dynamicznego drugiego rzędu.

Zobacz też

De Leon, M., Rodrigues, P., Metody geometrii różniczkowej w mechanice analitycznej (North Holland, 1989).
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Formuła geometryczna mechaniki klasycznej i kwantowej (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ( arXiv : 0911.0411 ).