Sztywność (matematyka)

Ten artykuł dotyczy obiektów matematycznych, które są jednoznacznie określone przez niewielką ilość informacji. Aby zapoznać się z matematycznymi badaniami ciał sztywnych, zobacz sztywność strukturalna .

   W matematyce sztywny zbiór C obiektów matematycznych (na przykład zbiorów lub funkcji) to taki, w którym każde c ∈ C jest jednoznacznie określone przez mniej informacji o c , niż można by się spodziewać.

Powyższe stwierdzenie nie definiuje właściwości matematycznej. Zamiast tego opisuje, w jakim sensie przymiotnik sztywny jest zwykle używany w matematyce przez matematyków.

Przykłady

Niektóre przykłady obejmują:

1. Funkcje harmoniczne na dysku jednostkowym są sztywne w tym sensie, że są jednoznacznie określone przez ich wartości brzegowe.
2. Funkcje holomorficzne są określone przez zbiór wszystkich pochodnych w jednym punkcie. Gładka funkcja od prostej rzeczywistej do płaszczyzny zespolonej nie jest na ogół określona przez wszystkie jej pochodne w jednym punkcie, ale dzieje się tak, jeśli dodatkowo wymagamy, aby można było rozszerzyć funkcję do jednej w sąsiedztwie rzeczywistej linia w płaszczyźnie zespolonej. Lemat Schwarza jest przykładem takiego twierdzenia o sztywności.
3. Zgodnie z fundamentalnym twierdzeniem algebry , wielomiany w C są sztywne w tym sensie, że każdy wielomian jest całkowicie określony przez swoje wartości w dowolnym zbiorze nieskończonym , powiedzmy N , lub dysku jednostkowym . W poprzednim przykładzie wielomian jest również określany w zbiorze funkcji holomorficznych przez skończony zbiór jego niezerowych pochodnych w dowolnym pojedynczym punkcie.
4. Odwzorowania liniowe L ( X , Y ) między przestrzeniami wektorowymi X , Y są sztywne w tym sensie , że dowolne L ∈ L ( X , Y ) jest całkowicie określone przez swoje wartości na dowolnym zbiorze wektorów bazowych X .
5. Twierdzenie Mostowa o sztywności , które stwierdza, że ​​struktura geometryczna rozmaitości zakrzywionych ujemnie jest określona przez ich strukturę topologiczną.
6. Dobrze uporządkowany zbiór jest sztywny w tym sensie, że jedynym ( zachowującym porządek ) automorfizmem na nim jest funkcja identyczności. W konsekwencji izomorfizm między dwoma dobrze uporządkowanymi zbiorami będzie unikalny.
7. Twierdzenie Cauchy'ego o geometrii wypukłych polytopów stwierdza, że ​​wypukły polytop jest jednoznacznie określony przez geometrię jego ścian i kombinatoryczne reguły sąsiedztwa.
8. Twierdzenie Aleksandrowa o wyjątkowości stwierdza , że ​​​​wypukły wielościan w trzech wymiarach jest jednoznacznie określony przez przestrzeń metryczną geodezji na jego powierzchni.
9. Wyniki sztywności w K-teorii pokazują izomorfizmy między różnymi algebraicznymi grupami K-teorii .
10. Grupy sztywne w odwrotnym problemie Galois .

Zastosowanie kombinatoryczne

W kombinatoryce termin sztywny jest również używany do zdefiniowania pojęcia sztywnej suriekcji , która jest suriekcją , dla której zachodzą następujące równoważne warunki: ${\ displaystyle f: n \ to m}$

1. dla każdego ${\ Displaystyle i, j \ w m}$ , ${\ Displaystyle i <j \ implikuje \ min f ^ { -1}(i)<\min f^{-1}(j)}$ ;
2. fa ${\ displaystyle f}$ jako ${\ displaystyle n}$ - krotka ${\ Displaystyle {\ duży (} f (0),$ , pierwsze wystąpienia elementów w $;$ w porządku rosnącym
3. $displaystyle f}$$m}$ odwzorowuje początkowe segmenty na początkowe segmenty $displaystyle$ .

$. Biorąc pod$ to do powyższej definicji sztywności, ponieważ każda sztywna surjekcja $jednoznacznie$$definiuje$ i jest jednoznacznie definiowana przez na $uwagę$ surjekcję , podział jest określony przez ${\ Displaystyle n = f ^ {-1} (0) \ sqcup \ cdots \ sqcup f ^ {-1} (m-1)}$ . I odwrotnie, biorąc pod uwagę podział ${\ Displaystyle n = A_ {0} \ sqcup \ cdots \ sqcup A_ {m-1}}$ , zamów i ${\ Displaystyle A_ {i} }$ pozwalając ${\ Displaystyle A_ {i} \ prec A_ {j} \ iff \ min A_ {i}<\ min A_ {j}$ . jeśli ${\ Displaystyle n = B_ {0} \ sqcup \ cdots \ sqcup B_ {m-1}}$ jest teraz $partycją$ , funkcja ${\ Displaystyle f: n \ do m}$ zdefiniowany przez ${\ Displaystyle f (i) = j \ iff i \ in B_ {j}}$ jest sztywną suriekcją.

Zobacz też

• Twierdzenie o jedyności
• Sztywność strukturalna , teoria matematyczna opisująca stopnie swobody zespołów sztywnych obiektów fizycznych połączonych ze sobą elastycznymi zawiasami.
• Struktura poziomu (geometria algebraiczna)

Ten artykuł zawiera materiał ze sztywnej strony PlanetMath , który jest objęty licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .