Teoria reprezentacji algebr Hopfa

W algebrze abstrakcyjnej reprezentacja algebry Hopfa jest reprezentacją leżącej u jej podstaw algebry asocjacyjnej . Oznacza to, że reprezentacją algebry Hopfa H na polu K jest K - przestrzeń wektorowa V z działaniem H × V → V zwykle oznaczanym przez zestawienie (to znaczy obraz ( h , v ) jest zapisywany jako hv ). Przestrzeń wektorowa V nazywana jest modułem H.

Nieruchomości

Struktura modułowa reprezentacji algebry Hopfa H jest po prostu jej strukturą jako modułem leżącej u podstaw algebry asocjacyjnej. Głównym zastosowaniem rozważania dodatkowej struktury algebry Hopfa jest rozważanie wszystkich H jako kategorii. Dodatkowa struktura jest również używana do definiowania niezmiennych elementów H - modułu V. Element v w V jest niezmienny pod H , jeśli dla wszystkich h w H , hv = ε( h ) v , gdzie ε jest jednostką H . Podzbiór wszystkich niezmiennych elementów V tworzy podmoduł V .

Kategorie reprezentacji jako motywacja dla algebr Hopfa

Dla algebry asocjacyjnej H iloczyn tensorowy V 1 _⊗ V 2 _dwóch modułów H V 1 _i V 2 _jest przestrzenią wektorową, ale niekoniecznie modułem H. Aby iloczyn tensorowy był iloczynem funkcyjnym na H -modułach, musi istnieć liniowa operacja binarna Δ : H → H ⊗ H taka, że ​​dla dowolnego v w V ₁ ⊗ V ₂ i dowolne h w H ,

${\ Displaystyle hv = \ Delta h (v_ {(1)} \oraz v_{(2)})=h_{(1)}v_{(1)}\oraz h_{(2)}v_{(2)},}$

i dla dowolnego v w V ₁ ⊗ V ₂ i aib w H ,

${\ Displaystyle \ Delta (ab) (v_ {(1)} \ czasami v_ {(2)}} = (ab) v = a [b [v]] = \ Delta a [\ Delta b (v_ {(1) )}\otimes v_{(2)})]=(\Delta a)(\Delta b)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}).}$

używając bezsumowej notacji Sweedlera , która jest trochę jak wolna od indeksu forma konwencji sumowania Einsteina . Jest to spełnione, jeśli istnieje Δ takie, że Δ( ab ) = Δ ( a ) Δ ( b ) dla wszystkich a , b w H .

Aby kategoria modułów H była ścisłą kategorią monooidalną w odniesieniu do ⊗, ${\ Displaystyle V_ {1} \ otimes (V_ {2} \ otimes V_ {3})}$ i ${\ Displaystyle (V_ {1} \ otimes V_ {2}) \ otimes V_ {3}}$ muszą być równoważne i musi istnieć obiekt jednostkowy ε _H , zwany modułem trywialnym, takie, że ε _H ⊗ V , V i V ⊗ ε _H są równoważne.

Oznacza to, że dla dowolnego v w

${\ Displaystyle V_ {1} \ czasami (V_ {2} \ czasami V_ {3}) = (V_ {1} \ czasami V_{2})\czasami V_{3}}$

i dla h w H ,

${\ Displaystyle ({\ nazwa operatora {id} \ otimes \ Delta) \ Delta h) (v_ {(1)} \ otimes v_ {(2)} \ otimes v_ {(3)}) = h_ {(1)} v_{(1)}\otimes h_{(2)(1)}v_{(2)}\otimes h_{(2)(2)}v_{(3)}=hv=((\Delta \otimes \ nazwa operatora {id} )\Delta h)(v_{(1)}\otimes v_{(2)}\otimes v_{(3)}).}$

Będzie to obowiązywać dla dowolnych trzech H -modułów, jeśli Δ spełnia

${\ Displaystyle (\ nazwa operatora {id} \ otimes \ Delta) \ Delta A = (\ Delta \ otimes \ nazwa operatora {id}) \ Delta A.}$

Moduł trywialny musi być jednowymiarowy, więc homomorfizm algebry ε : H → F można zdefiniować tak, że hv = ε( h ) v dla wszystkich v w ε _H . Trywialny moduł można utożsamiać z F , gdzie 1 jest elementem takim, że 1 ⊗ v = v = v ⊗ 1 dla wszystkich v . Wynika z tego, że dla dowolnego v w dowolnym module H V dowolny c w ε _H i dowolne h w H ,

${\ Displaystyle (\ varepsilon (h_ {(1)}) h_ {(2}}) cv = h_ {(1)} c \ otimes h_ {(2)} v = h (c \ otimes v) = h ( cv)=(h_{(1)}\varepsilon (h_{(2)}))cv.}$

Istnienie homomorfizmu algebry ε spełnia

${\ Displaystyle \ varepsilon (h_ {(1)}) h_ {(2)} = h = h_ {( 1)}\varepsilon (h_{(2)})}$

jest wystarczającym warunkiem istnienia modułu trywialnego.

Wynika z tego, że aby kategoria H -modułów była kategorią monoidalną względem iloczynu tensorowego, wystarczy, że H ma odwzorowania Δ i ε spełniające te warunki. To jest motywacją do zdefiniowania bialgebry , gdzie Δ nazywa się komultiplikacją , a ε jest cojednostką .

Aby każdy H -moduł V miał podwójną reprezentację V taką, że bazowe przestrzenie wektorowe są podwójne, a operacja * jest funkcjonalna na monooidalnej kategorii H -modułów, musi istnieć mapa liniowa S : H → H taka, że dla dowolnego h w H , x w V i y w V* ,

${\ Displaystyle \ langle y, S (h) x \ rangle = \ langle hy, x \ rangle.}$

gdzie $_$ podwójnych . _ Jeśli mapa $_$ przez parowanie h w H , x w V i y w V* ,

${\ Displaystyle \ varphi \ lewo (h (x \ czasami y) \ prawej) = \ varphi \ lewo (x \ czasami S (h_ {(1)}) h_ { (2)}y\right)=\varphi \left(S(h_{(2)})h_{(1)}x\otimes y\right)=h\varphi (x\otimes y)=\varepsilon ( h)\varphi (x\czasami y),}$

który jest spełniony, jeśli

${\ Displaystyle S (h_ {(1)}) h_ {(2)} = \ varepsilon ( h)=h_{(1)}S(h_{(2)})}$

dla wszystkich h w H .

Jeśli istnieje taka mapa S , to nazywa się ją antypodą , a H jest algebrą Hopfa. Pragnienie monoidalnej kategorii modułów z funktoralnymi iloczynami tensorowymi i podwójnymi reprezentacjami jest zatem jedną z motywacji koncepcji algebry Hopfa.

Reprezentacje w algebrze

Algebra Hopfa ma również reprezentacje, które mają dodatkową strukturę, a mianowicie są algebrami.

Niech H będzie algebrą Hopfa. Jeśli A jest algebrą z operacją iloczynu μ : A ⊗ A → A , a ρ : H ⊗ A → A jest reprezentacją H na A , to mówi się, że ρ jest reprezentacją H w algebrze, jeśli μ to H - ekwiwariantny . W szczególnych przypadkach algebry Liego, superalgebry Liego i grupy mogą również mieć reprezentacje na algebrze.

Zobacz też

• Twierdzenie o rekonstrukcji Tannaki-Kreina