Teoria zbioru podwójnego rozszerzenia

W matematyce teoria zbiorów podwójnego rozszerzenia (DEST) jest aksjomatyczną teorią mnogości zaproponowaną przez Andrzeja Kisielewicza, składającą się z dwóch oddzielnych relacji członkostwa we wszechświecie zbiorów, oznaczonych tutaj przez i ε { \ $varepsilon$$}$ , oraz zbiór aksjomatów odnoszących się do tych dwóch. Intencją stojącą za zdefiniowaniem tych dwóch relacji członkostwa jest uniknięcie typowych paradoksów teorii mnogości , bez zasadniczego osłabiania aksjomatu nieograniczonego rozumienia .

Intuicyjnie, w DEST zrozumienie jest używane do definiowania elementów zbioru w ramach jednej relacji przynależności przy użyciu formuł, które obejmują tylko drugą relację przynależności. Niech $varepsilon}$ pierwszego rzędu ze zmienną swobodną $w$$języku$ DEST nie obejmującą relacji przynależności . Wtedy aksjomaty DEST zakładają zbiór ${\ Displaystyle A = \ {x | \ phi (x) \}}$ takie, że ${\ Displaystyle x \ varepsilon A \ iff \ phi (x)}$ . $Na$ przykład $jest$ formułą obejmującą tylko ${\ Displaystyle R = \ {x | x \ notin x \}}$ zatem DEST Russella , gdzie ${\ Displaystyle x \ varepsilon R \ iff x \ notin x}$ . Zauważ, że dla $Displaystyle$ otrzymujemy $R \ varepsilon R \ iff R \ notin$ . Ponieważ relacje członkostwa są różne, unikamy w ten sposób paradoksu Russella.

W DEST nacisk kładziony jest na regularne zbiory, które są zbiorami, których rozszerzenia w ramach dwóch relacji członkostwa są zbieżne, tj. Zbiory, $dla$ utrzymuje się, że ${\ Displaystyle \ forall xx \ w A \ iff x \ varepsilon A}$ . Poprzednia dyskusja sugeruje, że zestaw Russella ${\ Displaystyle R = \ {x | x \ notin x \}}$ nie może być regularne, ponieważ w przeciwnym razie prowadzi to do paradoksu Russella.