Test Boschloo

Test Boschloo to statystyczny test hipotezy do analizy tabel kontyngencji 2x2 . Bada powiązanie dwóch zmiennych losowych o rozkładzie Bernoulliego i jest jednolicie mocniejszą alternatywą dla dokładnego testu Fishera . Został zaproponowany w 1970 roku przez RD Boschloo.

Ustawienie

Tabela kontyngencji 2x2 wizualizuje $\ displaystyle A}$ $ZA {$ \ displaystyle $}$ :

\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|cc|c} i B = 1 i B = 0 i {\ mbox{suma}}\\\hlinia A=1&x_{11}&x_{10}&n_{1}\\A=0&x_{01}&x_{00}&n_{0}\\\hlinia {\mbox{suma}} &s_{1}&s_{0}&n\\\end{tablica}}}

Rozkład prawdopodobieństwa takich tabel można podzielić na trzy odrębne przypadki.

Sumy $są$ i sumy $kolumn$ góry ${\ displaystyle x_$ wszystkie określone przez ${ij}}$ . Jeśli i są niezależne, ${1}$ po $s_ {1}}$ hipergeometrycznym z parametrami $displaystyle$ $,$ $n, n_$ : ${\ Displaystyle x_ {11} \ sim {\ mbox {hipergeometryczny}} (n, n_ {1}, s_ {1})}$ .
Sumy $ustalane$ $_$ z ale Następnie wszystkie losowe parametry są określane przez ${\ Displaystyle x_ {11}}$ i x $\ Displaystyle x_ {01}}$ i ${\ Displaystyle x_ {11}, x_ {01}$ } rozkład z prawdopodobieństwami ${\ Displaystyle p_ {1}, p_ {0}}$ : ${\ Displaystyle x_ {11} \ sim B (n_ {1}, p_ { 1})}$ ${\ Displaystyle x_ {01} \ sim B (n_ {0}, p_ {0})}$
Tylko całkowita liczba $są$ $} {0}}$ sumy wierszy i sumy kolumn ${\ Displaystyle n_ {1}, n_$ nie są. Następnie wektor losowy ${\ Displaystyle (x_ {11}, x_ {10}, x_ {01}, x_ {00})}$ jest zgodny z rozkładem wielomianowym z wektorem prawdopodobieństwa ${\ Displaystyle (p_ {11}, p_ {10}, p_ {01}, p_ {00})}$ .

Dokładny test Fishera jest przeznaczony dla pierwszego przypadku, a zatem dokładny test warunkowy (ponieważ warunkuje sumy kolumnowe). Typowym przykładem takiego przypadku jest Pani degustująca herbatę : Pani smakuje 8 filiżanek herbaty z mlekiem. Do 4 z tych filiżanek mleko wlewa się przed herbatą. Do pozostałych 4 filiżanek najpierw nalewa się herbatę. Pani próbuje przyporządkować puchary do dwóch kategorii. $zapisem$ , zmienna losowa reprezentuje zastosowaną metodę (1 = pierwsze mleko, 0 = ostatnie mleko), a $damy$ 1 = pierwsze odgadnięcie mleka, 0 = ostatnie mleko). zgadłem). Wtedy sumy wierszy to ustalone liczby filiżanek przygotowanych każdą metodą: ${\ Displaystyle n_ {1} = 4, n_ {0} = 4}$ . Pani wie, że w każdej kategorii są 4 kubki, więc przypisze po 4 kubki do każdej metody. Zatem sumy kolumn są również ustalane z góry: ${\ Displaystyle s_ {1} = 4, s_ {0} = 4}$ . Jeśli $są niezależne$ $jest$ stanie odróżnić, i $,$ liczba prawidłowo sklasyfikowanych filiżanek z mlekiem najpierw rozkładowi hipergeometrycznemu ${\ Displaystyle {\ mbox {hipergeometryczny}} (8,4,4)}$ .

Test Boschloo jest przeznaczony dla drugiego przypadku i dlatego jest dokładnym testem bezwarunkowym. Przykłady takiego przypadku często można znaleźć w badaniach medycznych, w których porównuje się binarny punkt końcowy między dwiema grupami pacjentów. Zgodnie z naszym zapisem, ${\ displaystyle A = 1}$ reprezentuje pierwszą grupę, która otrzymuje interesujące leki. ${\ displaystyle A = 0}$ reprezentuje drugą grupę, która otrzymuje placebo . $wskazuje$ na wyleczenie pacjenta (1 = wyleczenie, 0 = brak wyleczenia) Następnie sumy wierszy są równe wielkościom grup i są zwykle ustalane z góry. Sumy w kolumnach to całkowita liczba wyleczeń lub kontynuacji choroby i nie są ustalone z góry.

Przykład trzeciego przypadku można skonstruować w następujący sposób: jednocześnie $odwróć$ $dwie$ $razy$ monety i zrób Jeśli policzymy liczbę wyników w naszej tabeli 2x2 (1 = głowa, 0 = reszka), nie wiemy z góry, jak często moneta $reszkę$ (losowe sumy wierszy), ani nie wiemy jak często moneta $orła$ lub reszkę (losowe sumy kolumn).

Hipoteza testowa

Hipoteza zerowa jednostronnego testu Boschloo (wysokie wartości faworyzują hipotezę alternatywną) to: ${\ displaystyle x_ {1}}$

{\ Displaystyle H_ {0}: p_ {1} \ równoważnik p_ {0}}

Hipotezę zerową testu jednostronnego można również sformułować w innym kierunku (małe wartości faworyzują hipotezę alternatywną) : ${\ displaystyle x_ {1}}$

{\ Displaystyle H_ {0}: p_ {1} \ geq p_ {0}}

Hipoteza zerowa testu dwustronnego to:

{\ Displaystyle H_ {0}: p_ {1} = p_ {0}}

Nie ma uniwersalnej definicji dwustronnej wersji dokładnego testu Fishera. Ponieważ test Boschloo jest oparty na dokładnym teście Fishera, uniwersalna dwustronna wersja testu Boschloo również nie istnieje. Poniżej zajmiemy się testem jednostronnym i ${\ displaystyle H_ {0}: p_ {1} \ równoważnik p_ {0}}$ .

Pomysł Boschloo

poziom istotności oznaczamy przez ${\ displaystyle \ alpha}$ . Dokładny test Fishera jest testem warunkowym i jest odpowiedni dla pierwszego z wyżej wymienionych przypadków. Ale jeśli traktujemy obserwowaną sumę kolumn $ustaloną$ z góry, dokładny test Fishera można również zastosować do drugiego przypadku Prawdziwy rozmiar testu zależy wtedy od $displaystyle p_ {1}}$ parametrów i ${\$ . Można wykazać, że maksymalny rozmiar ${\ Displaystyle \ max \ ograniczenia _ {p_ {1} \ równoważnik p_ {0}} {\ duży (} {\ mbox {rozmiar}} (p_ {1}, p_ {0}) {\ duży)}}$ przyjmuje się w równych proporcjach ${\ displaystyle p = p_ {1} = p_ {0}}$ i nadal jest kontrolowany przez ${\ displaystyle \ alpha}$ . Jednak Boschloo stwierdził, że w przypadku małych próbek maksymalny rozmiar jest często znacznie mniejszy niż ${\ displaystyle \ alpha}$ . Prowadzi to do niepożądanej utraty mocy .

Boschloo zaproponował użycie dokładnego testu Fishera z wyższym poziomem nominalnym ${\ displaystyle \ alpha ^ {*}> \ alpha}$ . Tutaj należy wybrać tak duży, jak to możliwe, tak aby maksymalny ${\ Displaystyle \ max \ ograniczenia _ {p \ w [0,1]} {\ duży (} {\ mbox {rozmiar}} (p) {\ duży)} \ równoważnik \ alfa}$ $był$ $kontrolowany$ ∈ . Ta metoda była szczególnie korzystna w momencie publikacji Boschloo, ponieważ można było wyszukać wspólne wartości $displaystyle \ alpha$ $n_ {1}}$ ${ \$ i $\displaystyle n_{0}}$ . Dzięki temu wykonanie testu Boschloo było łatwe obliczeniowo.

Statystyka testowa

Reguła decyzyjna podejścia Boschloo opiera się na dokładnym teście Fishera. Równoważnym sposobem sformułowania testu jest użycie wartości p dokładnego testu Fishera jako statystyki testowej . Wartość p Fishera jest obliczana z rozkładu hipergeometrycznego (dla ułatwienia zapisu piszemy zamiast ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {0}})$ ${\ displaystyle x_ {11}, x_ {01}}$ ):

{\ Displaystyle p_ {F} = 1-F _ {{\ mbox {hipergeometryczny}} (n, n_ {1} ,x_{1}+x_{0})}(x_{1}-1)}

Rozkład jest ${0}}$ przez rozkłady dwumianowe $x_$ x $\ Displaystyle$ i zależy od nieznanego uciążliwego parametru $styl wyświetlania p}$ ${F}$ . $p$ określonego $krytyczną$ wartością $,$ maksymalna wartość która ${\ Displaystyle \ max \ ograniczenia _ {p \ w [0,1]} P (p_ {F} \ równoważnik \ alfa ^ {*}) \ równoważnik \ alfa }$ [ . Wartość krytyczna $równa$ poziomowi oryginalnego podejścia Boschloo.

Modyfikacja

Test Boschloo zajmuje się nieznanym uciążliwym parametrem $,$ maksimum z całej przestrzeni parametrów ${\ displaystyle [0,1]}$ . Procedura Berger & Boos przyjmuje inne podejście, maksymalizując ${\ Displaystyle P (p_ {F} \ równoważnik \ alfa ^ {*})}$ nad za ${\ Displaystyle (1 - \ gamma )}$ przedział ufności i dodanie ${\ displaystyle p = p_ {1} = p_ {0}}$ ${\ displaystyle \ gamma}$ . ${\ displaystyle \ gamma}$ jest zwykle małą wartością, na przykład 0,001 lub 0,0001. Powoduje to zmodyfikowany test Boschloo, który jest również dokładny.

Porównanie z innymi dokładnymi testami

Wszystkie dokładne testy mają określony poziom istotności, ale mogą mieć różną moc w różnych sytuacjach. Mehrotra i in. porównał moc niektórych dokładnych testów w różnych sytuacjach. Poniżej podsumowano wyniki testu Boschloo.

Zmodyfikowany test Boschloo

Test Boschloo i zmodyfikowany test Boschloo mają podobną moc we wszystkich rozważanych scenariuszach. Test Boschloo ma w niektórych przypadkach nieco większą moc i odwrotnie w innych przypadkach.

Dokładny test Fishera

Test Boschloo jest z założenia jednakowo silniejszy niż dokładny test Fishera. Dla małych liczebności prób (np. 10 na grupę) różnica mocy jest duża i waha się od 16 do 20 punktów procentowych w rozpatrywanych przypadkach. Różnica mocy jest mniejsza dla większych próbek.

Dokładny test zbiorczy ${\ displaystyle Z}$

Ten test opiera się na statystyce testowej

{\ Displaystyle Z_ {P} (x_ {1}, x_ {0}) ={\frac {{\kapelusz {p}}_{1}-{\kapelusz {p}}_{0}}{\sqrt {{\tylda {p}}(1-{\tylda {p}} )({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{0}}})}}},}

gdzie ${\ Displaystyle {\ hat {p}} _ {i} = {\ Frac {x_ {i}} {n_ {i}}}} to wskaźniki zdarzeń$ grupowych i ${\ Displaystyle {\ tylda {p}} = {\ Frac {x_ {1} + x_ {0}} {n_ {1} + n_ {0}}}}$ jest wydarzeniem połączonym wskaźnik.

Moc tego testu jest podobna do mocy testu Boschloo w większości scenariuszy. W niektórych przypadkach $.$ ma większą moc, a różnice wahają się głównie od 1 do 5 punktów procentowych W bardzo nielicznych przypadkach różnica dochodzi do 9 punktów procentowych.

Ten test można również zmodyfikować za pomocą procedury Berger & Boos. Jednak wynikowy test ma bardzo podobną moc do niezmodyfikowanego testu we wszystkich scenariuszach.

Dokładny test - Unpooled Z $\ Displaystyle Z}$

Ten test opiera się na statystyce testowej

{\ Displaystyle Z_ {U} (x_ {1} ,x_{0})={\frac {{\kapelusz {p}}_{1}-{\kapelusz {p}}_{0}}{\sqrt {{\frac {{\kapelusz {p}} _{1}(1-{\kapelusz {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\kapelusz {p}}_{0}(1-{\kapelusz { p}}_{0})}{n_{0}}}}}},}

gdzie ${\ Displaystyle {\ hat {p}} _ {i} = {\ Frac {x_ {i}} {n_ {i}}}}$ to współczynniki zdarzeń grupowych.

Moc tego testu jest podobna do mocy testu Boschloo w wielu scenariuszach. W niektórych przypadkach $.$ ma większą moc, z różnicami w zakresie od 1 do 5 punktów procentowych Jednak w niektórych innych przypadkach test Boschloo ma zauważalnie większą moc, z różnicami do 68 punktów procentowych.

Ten test można również zmodyfikować za pomocą procedury Berger & Boos. Wynikowy test ma podobną moc do niezmodyfikowanego testu w większości scenariuszy. W niektórych przypadkach modyfikacja znacznie poprawia moc, ale ogólne porównanie mocy z testem Boschloo pozostaje niezmienione.

Oprogramowanie

Obliczenia testu Boschloo można wykonać w następującym oprogramowaniu:

Funkcja scipy.stats.boschloo_exact z SciPy
Pakiety Dokładne i dokładne 2x2 języka programowania R
StatXakt

Zobacz też