Test Breuscha-Poganina

W statystyce test Breuscha -Pagana , opracowany w 1979 roku przez Trevora Breuscha i Adriana Pagana , jest używany do testowania heteroskedastyczności w modelu regresji liniowej . Zostało to niezależnie zasugerowane z pewnym rozszerzeniem przez R. Dennisa Cooka i Sanforda Weisberga w 1983 r. ( Test Cooka – Weisberga ). Wywodzący się z testu mnożnika Lagrange'a , sprawdza, czy wariancja błędów z regresji zależy od wartości zmiennych niezależnych . W takim przypadku występuje heteroskedastyczność.

Załóżmy, że estymujemy model regresji

{\ Displaystyle y = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} x + u, \,}

$uzyskaj z tego$ modelu zestaw wartości dla . Zwyczajna metoda najmniejszych kwadratów ogranicza je tak, że ich średnia wynosi 0, a więc, zakładając, że ich wariancja nie zależy od zmiennych niezależnych , oszacowanie tej wariancji można uzyskać ze średniej kwadratów wartości reszt. Jeśli założenie nie zostanie uznane za prawdziwe, prosty model może polegać na tym, że wariancja jest liniowo związana ze zmiennymi niezależnymi. Taki model można zbadać regresując kwadraty reszt na zmiennych niezależnych, stosując pomocnicze równanie regresji postaci

{\ Displaystyle {\ widehat {u}} ^ {2} = \ gamma _ {0} + \ gamma _ {1} x + v. \,}

To jest podstawa testu Breuscha-Pagana. Jest to test chi-kwadrat : statystyka testowa ma rozkład nχ ² z k stopniami swobody. Jeśli statystyka testowa ma wartość p poniżej odpowiedniego progu (np. p < 0,05), to hipoteza zerowa o homoskedastyczności jest odrzucana i zakłada się heteroskedastyczność.

Jeśli test Breuscha-Pagana wykaże, że istnieje warunkowa heteroskedastyczność, można albo użyć ważonych najmniejszych kwadratów (jeśli znane jest źródło heteroskedastyczności), albo użyć błędów standardowych zgodnych z heteroskedastycznością .

Procedura

Przy klasycznych założeniach najlepszym nieobciążonym estymatorem liniowym (NIEBIESKIM), czyli nieobciążonym i wydajnym, jest zwykła metoda najmniejszych kwadratów. Pozostaje bezstronny w warunkach heteroskedastyczności, ale wydajność jest tracona. Przed podjęciem decyzji o metodzie estymacji można przeprowadzić test Breuscha-Pagana w celu zbadania obecności heteroskedastyczności. $_$ typu _ ${\ Displaystyle z_ {i} = (1, z_ {2i}, \ ldots, z_ {pi}$ ) } wariancje. Hipoteza zerowa jest równoważna z ograniczeniami parametrów: ${\ Displaystyle (p-1) \,}$

{\ Displaystyle \ gamma _ {2} = \ cdots = \ gamma _ {p} = 0.}

Poniższy mnożnik Lagrange'a (LM) daje statystykę testową dla testu Breuscha-Pagana: ^{[ potrzebne źródło ]}

{\ Displaystyle {\ tekst {LM}} = \ lewo ({\ Frac {\ częściowy \ ell}} {\ częściowy \ teta}} \ prawej) ^ {\ mathsf {T}} \ lewo (-E \ lewo [{{ \frac {\częściowy ^{2}\ell }{\częściowy \theta \,\częściowy \theta '}}\right]\right)^{-1}\left({\frac {\częściowy \ell}} \częściowo \theta }}\right).}

Test ten można przeprowadzić za pomocą następującej trzyetapowej procedury:

Krok 1 : Zastosuj OLS w modelu

{\ Displaystyle y_ {i} = X_ {i} \ beta + \ varepsilon _ {i} \ quad i = 1, \ kropki {}, n}

Krok 2 $kwadratu i podziel$ Oblicz reszty regresji, oszacowanie maksymalnego prawdopodobieństwa wariancja błędu z regresji kroku 1, aby uzyskać to, co Breusch i Pagan nazywają ${\ displaystyle g_ {i}}$ :

{ \ Displaystyle g_ {i} = {\ kapelusz {\ varepsilon}} _ {i} ^ {2} / {\ kapelusz {\ sigma}} ^ {2}, \ quad {\ kapelusz {\ sigma}} ^ {2 }=\sum {{\hat {\varepsilon }}_{i}^{2}}/n}

Krok 2 : Oszacuj regresję pomocniczą

{\ Displaystyle g_ {i} = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} z_ {2i} + \ cdots + \ gamma _ {p} z_ {pi} + \ eta _ {i}.}

gdzie warunki z będą zazwyczaj, ale niekoniecznie, takie same jak oryginalne współzmienne x .

Krok 3 : Statystyka testowa LM jest wtedy połową wyjaśnionej sumy kwadratów z regresji pomocniczej w kroku 2:

{\ Displaystyle {\ tekst {LM}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ tekst {TSS}} - {\ tekst {SSR}} \ prawo).}

gdzie TSS jest sumą kwadratów odchyleń od ich $1 , a SSR$ sumą kwadratów reszt z regresji pomocniczej. Statystyka testowa ma $1979$ rozkład zgodnie z hipotezą zerową homoskedastyczności, jak udowodnili Breusch i Pagan w ich

Solidny wariant

Wariant tego testu, solidny w przypadku nie- gaussowskiego składnika błędu, zaproponował Roger Koenker . $jest$ po prostu kwadrat reszty z regresji kroku 1, a test $regresji$ jest . Jak zauważa Koenker (1981, strona 111), chociaż poprawiona statystyka ma prawidłowy rozmiar asymptotyczny, jej moc „może być dość słaba, z wyjątkiem wyidealizowanych warunków Gaussa”.

Oprogramowanie

W R test ten jest wykonywany przez funkcję ncvTest dostępną w pakiecie car , funkcję bptest dostępną w pakiecie lmtest , funkcję plmtest dostępną w pakiecie plm lub funkcję breusch_pagan dostępną w pakiecie skedastic .

W Stata określa się pełną regresję, a następnie wprowadza się polecenie estat hettest, po którym następują wszystkie zmienne niezależne.

W SAS Breusch-Pagan można uzyskać za pomocą opcji Proc Model.

W Pythonie istnieje metoda het_breuschpagan w statsmodels.stats.diagnostic (pakiet statsmodels) dla testu Breuscha-Pagana.

W gretl polecenie modtest --breusch-pagan można zastosować po regresji OLS.

Zobacz też

Biała próba

Dalsza lektura

Gudżarati, Damodar N .; Porter, Świt C. (2009). Podstawowa ekonometria (wyd. Piąte). Nowy Jork: McGraw-Hill Irwin. s. 385–86. ISBN 978-0-07-337577-9 .
Kmenta, Jan (1986). Elementy ekonometrii (wyd. Drugie). Nowy Jork: Macmillan. s. 292–298 . ISBN 0-02-365070-2 .
Krämer, W.; Sonnberger, H. (1986). Testowany model regresji liniowej . Heidelberg: Fizyka. s. 32–39.
Maddala, GS ; Lahiri, Kajal (2009). Wprowadzenie do ekonometrii (wyd. Czwarte). Chichester: Wiley. s. 216–218. ISBN 978-0-470-01512-4 .