Test matrycy informacyjnej

W ekonometrii test matrycy informacyjnej służy do określenia, czy model regresji jest błędnie określony . Test został opracowany przez Halberta White'a , który zauważył, że w prawidłowo określonym modelu i przy standardowych założeniach regularności, macierz informacji Fishera może być wyrażona na dwa sposoby: jako iloczyn zewnętrzny gradientu lub jako funkcja Hessian macierz funkcji logarytmu wiarygodności.

Rozważmy model liniowy $}} ,$$mathbf {u$$}$ błędy zakłada się, że są rozłożone ${\ Displaystyle \ operatorname {N} (0, \ sigma ^ {2} \ mathbf {I})}$ . Jeśli parametry $displaystyle$ są ułożone w stos w wektorze $\ sigma ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ theta} ^ {\ mathsf {T}} = {\ rozpocząć {bmatrix} \ beta i \ sigma ^ {2} \ koniec {bmatrix}}}$ wynikowy funkcja logarytmu wiarygodności to

${\ Displaystyle \ ell (\ mathbf {\ teta}) = - {\ Frac {n }{2}}\log \sigma ^{2}-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta} \right)^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {\beta} \right)}$

Macierz informacji można następnie wyrazić jako

${\ Displaystyle \ mathbf {I} (\ mathbf {\ teta}) = \ operatorname {E} \left[\left({\frac {\częściowy \ell (\mathbf {\theta} )}{\częściowy \mathbf {\theta}}}\right)\left({\frac {\częściowy \ell (\ mathbf {\theta} )}{\częściowo \mathbf {\theta} }}\right)^{\mathsf {T}}\right]}$

to jest oczekiwana wartość iloczynu zewnętrznego gradientu lub wyniku . Po drugie, można to zapisać jako minus macierzy Hessego funkcji logarytmu wiarygodności

${\ Displaystyle \ mathbf {I} (\ mathbf {\ theta}) = - \ operatorname {E} \ lewo [{\ Frac {\częściowy ^{2}\ell (\mathbf {\theta} )}{\częściowy \mathbf {\theta} \,\częściowy \mathbf {\theta} ^{\mathsf {T}}}}\right] }$

Jeśli model jest poprawnie określony, oba wyrażenia powinny być równe. Łączenie równoważnych form daje plony

${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} (\ mathbf {\ theta}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ ell (\ mathbf {\ theta } )}{\częściowe \mathbf {\theta} \,\częściowe \mathbf {\theta} ^{\mathsf {T}}}}+{\frac {\częściowe \ell (\mathbf {\theta}) }{\częściowy \mathbf {\theta}}}{\frac {\częściowy \ell (\mathbf {\theta})}{\częściowy \mathbf {\theta}}}\right]}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Delta} (\ mathbf {\ theta} )}$ jest macierzą losową , gdzie $\ razy r)$$}$ jest liczbą parametrów. White pokazał, że elementy , gdzie ${\ hat {\ theta}})}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {\ theta}}}$ to MLE, mają asymptotyczny rozkład normalny ze średnimi zerowymi, gdy model jest poprawnie określony. Jednak w małych próbkach test generalnie działa słabo.

Dalsza lektura

•   Krämer, W.; Sonnberger, H. (1986). Testowany model regresji liniowej . Heidelberg: Physica-Verlag. s. 105–110. ISBN 3-7908-0356-1 .
•   Biały, Halbert (1994). „Testowanie macierzy informacji” . Szacowanie, wnioskowanie i analiza specyfikacji . Nowy Jork: Cambridge University Press. s. 300–344. ISBN 0-521-25280-6 .