test t Welcha

W statystyce test t Welcha lub test t nierównych wariancji to test lokalizacji dwóch prób , który służy do testowania hipotezy (zerowej), że dwie populacje mają równe średnie. Został nazwany na cześć swojego twórcy, Bernarda Lewisa Welcha , jest adaptacją testu t - Studenta i jest bardziej niezawodny, gdy dwie próbki mają nierówne wariancje i prawdopodobnie nierówne rozmiary próbek. Testy te są często określane jako „niesparowane” lub „niezależne próbki” t -testy, ponieważ są one zwykle stosowane, gdy jednostki statystyczne leżące u podstaw dwóch porównywanych próbek nie nakładają się. Biorąc pod uwagę, że test t Welcha był mniej popularny niż test t -Studenta i może być mniej znany czytelnikom, bardziej pouczającą nazwą jest „test t nierównych wariancji Welcha ” — lub „test t nierównych wariancji ” dla zwięzłości.

Założenia

t - Studenta zakłada, że średnie z próby porównywanej dla dwóch populacji mają rozkład normalny i że populacje mają równe wariancje. Test t Welcha jest przeznaczony dla nierównych wariancji populacji, ale zachowane jest założenie o normalności. Test t Welcha jest przybliżonym rozwiązaniem problemu Behrensa – Fishera .

Obliczenia

t Welcha definiuje statystykę t za pomocą następującego wzoru:

{\ Displaystyle t = {\ Frac {\ Delta {\ overline {X}}} {s_ { \Delta {\bar {X}}}}}={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{s_{{\ słupek {X}}_{1}}^{2}}+{s_{{\bar {X}}_{2}}^{2}}}}}\,}

{\ Displaystyle s_ {{\ bar {X}} _ {i}} = {s_ {i} \ ponad {\ sqrt {N_ {i}}}} \,}

gdzie ${\ Displaystyle {\ overline {X}} _ {i}}$ i ${\ Displaystyle s_ {{\ bar {X}} _ {i}}}$ są $th}}}$ ${\ Displaystyle i ^$ ${ \ text$ próbka średnia i jej $.$ standardowy , przy czym skorygowane odchylenie standardowe próbki i próby W przeciwieństwie do t Studenta -test , mianownik nie jest oparty na połączonym oszacowaniu wariancji .

Stopnie swobody związane z tym oszacowaniem wariancji są przybliżone za pomocą równania Welcha – Satterthwaite'a : ${\ displaystyle \ nu$ }

{\ Displaystyle \ nu \ quad \ około \ quad {\ Frac {\ lewo (\; {\ Frac {s_ {1} ^ {2}} {N_ {1}}} \; + \; {\ Frac {s_ {2}^{2}}{N_{2}}}\;\right)^{2}}{\quad {\frac {s_{1}^{4}}{N_{1}^{2} \nu _{1}}}\;+\;{\frac {s_{2}^{4}}{N_{2}^{2}\nu _{2}}}\quad }}.}

To wyrażenie można uprościć, gdy ${\ Displaystyle N_ {1} = N_ {2}}$ :

{\ Displaystyle \ nu \ około {\ Frac {s_ {\ Delta {\ bar {X}}} ^ {4}} {\ nu _ {1} ^ {-1} s_ {{\ bar {X}} _ {1}}^{4}+\nu _{2}^{-1}s_{{\bar {X}}_{2}}^{4}}}.}

Tutaj, $to$ swobody tym wariancji

Statystyka pochodzi w przybliżeniu z rozkładu t , ponieważ mamy przybliżony rozkład chi-kwadrat . To przybliżenie jest lepsze, gdy zarówno ${\ displaystyle N_ {1}},$ jak i ${\ displaystyle N_ {2}}$ są większe niż 5.

Test statystyczny

Po obliczeniu t i tych statystyk można użyć z rozkładem t do przetestowania jednej z dwóch możliwych hipotez zerowych : ${\ displaystyle \ nu }$

że dwie średnie populacji są równe, w którym stosuje się test dwustronny ; Lub
że jeden ze średnich populacji jest większy lub równy drugiemu, w którym stosuje się test jednostronny .

Przybliżone stopnie swobody są $w oprogramowaniu$ rzeczywistymi na statystyki, podczas gdy są zaokrąglone w dół do najbliższej liczby całkowitej w arkuszach kalkulacyjnych.

Zalety i ograniczenia

t Welcha jest bardziej niezawodny niż test t -Studenta i utrzymuje współczynniki błędów typu I zbliżone do nominalnych dla nierównych wariancji i nierównych liczebności próbek w warunkach normalnych. Co więcej, moc testu t Welcha jest zbliżona do mocy testu t - Studenta , nawet gdy wariancje populacji są równe, a liczebność próbek jest zrównoważona. Test t Welcha można uogólnić na więcej niż 2 próbki, co jest bardziej niezawodne niż jednoczynnikowa analiza wariancji (ANOVA).

Nie zaleca się wstępnego testowania równych wariancji, a następnie wybierania między testem t Studenta a testem t Welcha . Raczej test t Welcha można zastosować bezpośrednio i bez żadnych istotnych wad do testu t -Studenta , jak wspomniano powyżej. Test t Welcha pozostaje solidny dla skośnych rozkładów i dużych rozmiarów próbek. Wiarygodność spada dla rozkładów skośnych i mniejszych próbek, gdzie można by ewentualnie wykonać test t Welcha .

Przykłady

t Welcha i test t Studenta . Próbki pochodzą z losowych rozkładów normalnych przy użyciu języka programowania R.

Dla wszystkich trzech przykładów średnie populacji wynosiły i ${\ displaystyle \ mu _ {1} = 20}$ i ${\ displaystyle \ mu _ {2} = 22}$ .

Pierwszy przykład dotyczy nierównych, ale bliskich wariancji ( , ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = 7,9}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2} =3,8}$ ) i równe rozmiary próbek ( ${\ textstyle N_ {1} = N_ {2} = 15}$ ). Niech A1 i A2 oznaczają dwie próbki losowe:

Displaystyle A_ {1} = \ {27.5,21.0,19.0, 23,6,17,0,17,9,16,9,20,1,21,9,22,6,23,1,19,6,19,0,21,7,21,4\}}

{\ Displaystyle A_ {2} = \ {27,1,22,0,20,8,2 3,4,23,4,23,5,25,8 ,22.0,24.8,20.2,21.9,22.1,22.9,20.5,24.4\}}

Drugi przykład dotyczy nierównych wariancji ( , ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = 9,0}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2} = 0,9 }$ ) i nierówne rozmiary próbek ( ${\ Displaystyle N_ {1} = 10}$ , ${\ Displaystyle N_ {2} = 20}$ ). Mniejsza próbka ma większą wariancję:

{\ displayStyle {\ begin {wyrównany} a_ {1} & = \ {17.2,20.9,9,6,18.1,21.7,21,4,23,5, 24,2,14,7,21,8\}\\A_{2}&=\{21,5,22,8,21,0,23,0,21,6,23,6,22,5,20,7,23,4,21,8,20,7,21,7,21,5,22,5,23,6,21,5,22,5 ,23.5,21.5,21.8\}\end{wyrównane}}}

Trzeci przykład dotyczy nierównych wariancji ( , ${\ Displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = 1,4}$ , ${\ Displaystyle \ sigma _ {2} ^ {2} = 17,1 }$ ) i nierówne rozmiary próbek ( ${\ Displaystyle N_ {1} = 10}$ , ${\ Displaystyle N_ {2} = 20}$ ). Większa próbka ma większą wariancję:

{\ displayStyle {\ begin {wyrównany} a_ {1} & = \ {19,8,20,4,19,6,17,8,18,5,18,9,18,3, 18,9,19,5,22,0\}\\A_{2}&=\{28,2,26,6,20,1,23,3,25,2,22,1,17,7,27,6,20,6,13,7,23,2,17,5,20,6,18,0,23,9,21,6,24,3 ,20.4,24.0,13.2\}\end{wyrównane}}}

Referencyjne wartości p uzyskano poprzez symulację rozkładów statystyk t dla hipotezy zerowej równych średnich populacji ( ${\ Displaystyle \ mu _ {1} - \ mu _ {2} = 0}$ ). Wyniki podsumowano w poniższej tabeli z dwustronnymi wartościami p:

	Próbka A1			Próbka A2			Test t - Studenta				test t Welcha
Przykład	${\ Displaystyle N_ {1}}$	${\ Displaystyle {\ overline {X}} _ {1}}$	${\ displaystyle s_ {1} ^ {2}}$	${\ displaystyle N_ {2}}$	${\ Displaystyle {\ overline {X}} _ {2}}$	${\ Displaystyle s_ {2} ^ {2}}$	${\ displaystyle t}$	${\ displaystyle \ nu}$	${\ displaystyle P.}$	${\ Displaystyle P _ {\ operatorname {sim}}}$	${\ displaystyle t}$	${\ displaystyle \ nu}$	${\ displaystyle P.}$	${\ Displaystyle P _ {\ operatorname {sim}}}$
1	15	20.8	7.9	15	23.0	3.8	−2,46	28	0,021	0,021	−2,46	24,9	0,021	0,017
2	10	20.6	9.0	20	22.1	0,9	−2.10	28	0,045	0,150	−1,57	9.9	0,149	0,144
3	10	19.4	1.4	20	21.6	17.1	−1,64	28	0,110	0,036	−2,22	24,5	0,036	0,042

t Welcha i test t Studenta dały identyczne wyniki, gdy dwie próbki miały podobne wariancje i rozmiary próbek (Przykład 1). Należy jednak pamiętać, że nawet jeśli próbkujesz dane z populacji o identycznych wariancjach, wariancje próbek będą się różnić, podobnie jak wyniki dwóch testów t. Tak więc w przypadku rzeczywistych danych oba testy prawie zawsze dadzą nieco inne wyniki.

t - Studenta dał niską wartość p, gdy mniejsza próbka miała większą wariancję (przykład 2) i wysoką wartość p, gdy większa próbka miała większą wariancję (przykład 3). W przypadku nierównych wariancji test t Welcha dał wartości p zbliżone do symulowanych wartości p.

Implementacje oprogramowania

Język/Program	Funkcjonować	Dokumentacja
LibreOffice	`TEST( Dane1;Dane2;Tryb;Typ )`
MATLAB	`ttest2(dane1, dane2, 'typ_zmienne', 'nierówne')`
Microsoft Excel sprzed 2010 r. (Test Studenta)	`TEST( tablica1 , tablica2 , ogony , typ )`
Microsoft Excel 2010 i nowsze (Test Studenta)	`T.TEST( tablica1 , tablica2 , ogony , typ )`
Minitab	Dostęp przez menu
SAS (oprogramowanie)	Domyślne wyjście z `proc ttest` (oznaczone jako „Satterthwaite”)
Python (poprzez zewnętrzną bibliotekę SciPy )	`scipy.stats.ttest_ind( a , b , equal_var=False )`
R	`t.test(dane1, dane2)`
Haskella	`Statistics.Test.StudentT.welchTTest PróbkiDiffer data1 data2`
JMP	`Jednokierunkowe ( Y ( YKolumna), X ( X Kolumna), Nierówne Wariancje ( 1 ) );`
Julia	`Test nierównej wariancji (dane1, dane2)`
Stan	`ttest nazwa_zmiennej1 == nazwa_zmiennej2 , welch`
Arkusze Google	`TEST(zakres1;zakres2;końce;typ)`
Pryzmat GraphPad	Jest to wybór w oknie dialogowym testu t.
Statystyki IBM SPSS	Opcja w menu
Oktawa GNU	`welch_test(x, y)`

Zobacz też