Tożsamość hipergeometryczna

Aby zapoznać się z tożsamościami spełnianymi przez funkcję hipergeometryczną, zobacz Lista tożsamości hipergeometrycznych .

W matematyce tożsamości hipergeometryczne to równości obejmujące sumy względem wyrazów hipergeometrycznych, tj . współczynników występujących w szeregach hipergeometrycznych . Tożsamości te często występują w rozwiązaniach problemów kombinatorycznych , a także w analizie algorytmów .

Tożsamości te tradycyjnie znajdowano „ręcznie”. Obecnie istnieje kilka algorytmów, które mogą znaleźć i udowodnić wszystkie tożsamości hipergeometryczne.

Przykłady

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} {n \ wybierz i} = 2 ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 0} ^ {n} {n \ wybierz i} ^ {2} = {2n \ wybierz n}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} k {n \ wybierz k} = n2 ^ {n-1}}$

${\ Displaystyle \ suma _ {i = n} ^ {N} ja {i \ wybierz n} = (n + 1) {N + 2 \ wybierz n + 2}-{N+1 \wybierz n+1}}$

Definicja

Istnieją dwie definicje terminów hipergeometrycznych, obie używane w różnych przypadkach, jak wyjaśniono poniżej. Zobacz także serie hipergeometryczne .

Wyraz tk _if jest wyrazem hipergeometrycznym

${\ Displaystyle {\ Frac {t_ {k + 1}}} {t_ {k}}}}$

jest funkcją wymierną w k .

Wyraz F(n,k) jest wyrazem hipergeometrycznym if

${\ Displaystyle {\ Frac {F (n, k + 1)} {F (n, k)}}}$

jest funkcją wymierną w k .

Istnieją dwa rodzaje sum nad terminami hipergeometrycznymi, sumy określone i nieokreślone. Suma określona ma postać

${\ Displaystyle \ suma _ {k} t_ {k}.}$

Nieokreślona suma ma postać

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {n} F (n, k).}$

Dowody

Chociaż w przeszłości jeden znalazł dowody pewnych tożsamości istnieje kilka algorytmów do znajdowania i udowadniania tożsamości. Algorytmy te najpierw znajdują proste wyrażenie na sumę względem warunków hipergeometrycznych, a następnie dostarczają certyfikat, którego każdy może użyć do łatwego sprawdzenia i udowodnienia poprawności tożsamości.

Dla każdego z typów sum hipergeometrycznych istnieje jedna lub więcej metod znajdowania prostego wyrażenia . Te metody zapewniają również certyfikat ułatwiający sprawdzenie dowodu tożsamości:

• Sumy określone : ​​metoda siostry Celine, algorytm Zeilbergera
• Sumy nieokreślone : ​​algorytm Gospera

Książka zatytułowana A = B została napisana przez Marko Petkovška , Herberta Wilfa i Dorona Zeilbergera , opisująca trzy główne podejścia opisane powyżej.

Zobacz też

• Tabela szeregów Newtona

Linki zewnętrzne

• Książka „A = B” , ta książka jest do bezpłatnego pobrania z Internetu.
• Przykłady funkcji specjalnych na stronie exampleproblems.com