Topologia Lawvere'a-Tierneya

W matematyce topologia Lawvere-Tierneya jest analogiem topologii Grothendiecka dla dowolnego toposu , używanego do konstruowania toposu snopów. Topologia Lawvere'a-Tierneya jest czasami nazywana również operatorem lokalnym , pokryciem , topologią lub modalnością geometryczną . Wprowadzili je William Lawvere ( 1971 ) i Myles Tierney .

Definicja

Jeśli E jest toposem, to topologia na E jest morfizmem j od klasyfikatora podobiektów Ω do Ω tak, że j zachowuje prawdę ( ${\ Displaystyle j \ circ {\ mbox {true}} = {\ mbox {true}}}$ ), zachowuje przecięcia ( ${\ Displaystyle j \ circ \ klin = \ klin \ circ (j \ razy j)} )$ i jest idempotentny ( ${\ Displaystyle j \ cyrk j = j}$ ).

j - zamknięcie

Diagramy przemienne pokazujące, jak działa zamknięcie j . Ω i t są klasyfikatorami podobiektów . χ _s jest charakterystycznym morfizmem s jako podobiektem A i jest $s}}$ który jest charakterystycznym morfizmem $}$ jest j -domknięciem s . Dwa dolne kwadraty to kwadraty pullback i są one również zawarte w górnym diagramie: pierwszy jako trapez, a drugi jako prostokąt z dwoma kwadratami.

Biorąc pod uwagę podobiekt obiektu $następnie$ z klasyfikatorem , $A}$ s rightarrowtail ${\ Displaystyle j \ circ \ chi _ {s}}$ definiuje inny podobiekt ${\ Displaystyle {\ bar {s}}: {\ bar {S}} \ rightarrowtail A}$ z A takie, $że$ s jest , a mówi się $że$ j - zamknięciem s

Niektóre twierdzenia związane z domknięciem j to (dla niektórych podobiektów s i w z A ):

• właściwość inflacyjna: ${\ Displaystyle s \ subseteq {\ bar {s}}}$
• idempotencja: ${\ Displaystyle {\ bar {s}} \ równoważnik {\ bar {\ bar {s}}}}$
• zachowanie skrzyżowań: ${\ Displaystyle {\ overline {s \ cap w}} \ równoważnik {\ bar {s}} \ cap {\ bar {w}}}$
• zachowanie porządku: ${\ Displaystyle s \ subseteq w \ Longrightarrow {\ bar {s}} \ subseteq {\ bar {w}}}$
• stabilność przy wycofaniu: ${\ Displaystyle {\ overline {f ^ {-1} (s)}} \ równoważnik f ^ {- 1} ({\ bar { s}})}$ .

Przykłady

Topologie Grothendiecka na małej kategorii C są zasadniczo takie same jak topologie Lawvere'a-Tierneya na toposach snopów wstępnych zbiorów nad C .

•    Lawvere, FW (1971), „Kwantyfikatory i snopy” (PDF) , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nicea, 1970) , tom. 1, Paryż: Gauthier-Villars, s. 329–334, MR 0430021 , S2CID 2337874
•   MacLane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994], Snopy w geometrii i logice. Pierwsze wprowadzenie do teorii toposu , Universitext, Springer, ISBN 978-1-4612-0927-0
•   McLarty, Colin (1995) [1992], kategorie elementarne, toposy elementarne , Oxford Logic Guides, tom. 21, Oxford University Press, s. 196, ISBN 978-0-19-158949-2