Trójkąt Béziera

Trójkąt Béziera to specjalny typ powierzchni Béziera , który jest tworzony przez ( liniową , kwadratową , sześcienną lub wyższego stopnia) interpolację punktów kontrolnych.

n -tego rzędu

Ogólny trójkąt Béziera n -tego rzędu ma ( n +1)( n + 2)/2 punkty kontrolne α ⁱ β ^j γ ^k , gdzie i , j , k są nieujemnymi liczbami całkowitymi takimi, że i + j + k = n . Powierzchnia jest wtedy zdefiniowana jako

{\ Displaystyle (\ alfa s + \ beta t + \ gamma u) ^ {n} = \ suma _ {\ rozpocząć {mała macierz} i + j + k \, = \, n\\i,j,k\,\geq \,0\end{mała macierz}}{n \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{ i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{małamacierz}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\ end{małamacierz}}{\frac {n!}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}}

dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych s + t + u = 1.

Przy porządku liniowym ( ${\ textstyle n=1}$ ) wynikowy trójkąt Béziera jest w rzeczywistości regularnym płaskim trójkątem , z wierzchołkami trójkąta równymi trzem punktom kontrolnym. Kwadratowy ( ${\ textstyle n=2} ) trójkąt Béziera ma 6 punktów kontrolnych$ , z których wszystkie znajdują się na krawędziach. Sześcienny ( ${\ textstyle n=3}$ ) Trójkąt Béziera jest zdefiniowany przez 10 punktów kontrolnych i jest trójkątem Béziera najniższego rzędu, który ma wewnętrzny punkt kontrolny, który nie znajduje się na krawędziach . We wszystkich przypadkach krawędzie trójkąta będą krzywymi Béziera o tym samym stopniu.

Sześcienny trójkąt Béziera

Przykładowy trójkąt Béziera z zaznaczonymi punktami kontrolnymi

Sześcienny trójkąt Béziera to powierzchnia z równaniem

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=\;&\beta ^{3}\,t^{3}+3\,\alpha \beta ^ {2}\,st^{2}+3\,\beta ^{2}\gamma \,t^{2}u\;+\\&3\,\alpha ^{2}\beta \,s^ {2}t+6\,\alpha \beta \gamma \,stu+3\,\beta \gamma ^{2}\,tu^{2}\,+\\&\alpha ^{3}\, s^{3}+3\,\alpha ^{2}\gamma \,s^{2}u+3\,\alpha \gamma ^{2}\,su^{2}+\gamma ^{3 }\,u^{3}\end{wyrównane}}}

gdzie α ³ , β ³ , γ ³ , α ² β, αβ ² , β ² γ, βγ ² , αγ ² , α ² γ i αβγ są punktami kontrolnymi trójkąta, a s , t , u (gdzie 0 ≤ s , t , u ≤ 1 i s + t + u = 1) to współrzędne barycentryczne wewnątrz trójkąta.

Alternatywnie sześcienny trójkąt Béziera można wyrazić jako bardziej uogólnione sformułowanie jako

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} p (s, t, u) & = \ suma _ {\ rozpocząć {mała macierz} i + j + k \, = \, 3\\i,j,k\,\geq \,0\end{macierz}}{3 \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{ i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{małamacierz}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\ end{małamacierz}}{\frac {6}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^ {k}\end{wyrównane}}}

zgodnie ze sformułowaniem trójkąta Béziera n - tego rzędu .

Narożami trójkąta są punkty α ³ , β ³ i γ ³ . Krawędzie trójkąta same w sobie są krzywymi Béziera z tymi samymi punktami kontrolnymi, co trójkąt Béziera.

Po usunięciu składnika γ u powstaje regularna krzywa Béziera. Ponadto, chociaż nie jest to zbyt przydatne do wyświetlania na fizycznym ekranie komputera, po dodaniu dodatkowych terminów czworościan Béziera lub polytope Béziera .

Ze względu na charakter równania cały trójkąt będzie zawierał się w objętości otoczonej punktami kontrolnymi, a przekształcenia afiniczne punktów kontrolnych spowodują prawidłowe przekształcenie całego trójkąta w ten sam sposób.

Połowę sześciennego trójkąta Béziera

Zaletą trójkątów Béziera w grafice komputerowej jest to, że podzielenie trójkąta Béziera na dwa oddzielne trójkąty Béziera wymaga jedynie dodawania i dzielenia przez dwa, a nie arytmetyki zmiennoprzecinkowej . Oznacza to, że chociaż trójkąty Béziera są gładkie, można je łatwo przybliżyć za pomocą regularnych trójkątów, rekurencyjnie dzieląc trójkąt na dwie części, aż powstałe trójkąty zostaną uznane za wystarczająco małe.

Poniżej obliczane są nowe punkty kontrolne dla połowy pełnego trójkąta Béziera z narożnikiem α ³ , narożnikiem w połowie krzywej Béziera między α ³ a β ³ oraz trzecim narożnikiem γ ³ .

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix}} {\ boldsymbol {\ alfa ^ {3}}} {'} \\ {\ boldsymbol {\ alfa ^ {2} \ beta}} {' }\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\ gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{ pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \ponad 2}&{1 \ponad 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \ponad 4}&{2 \ponad 4}&{1 \ponad 4}&0&0&0&0&0&0&0 \\{1 \ponad 8}&{3 \ponad 8}&{3 \ponad 8}&{1 \ponad 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \ponad 2}&{1 \ponad 2}&0&0&0&0 \\0&0&0&0&{1 \ponad 4}&{2 \ponad 4}&{1 \ponad 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \ponad 2}&{1 \ponad 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{ pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta}}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^ {2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma}}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma}}\ \{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma}}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{ \boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}

równoważnie, używając tylko dodawania i dzielenia przez dwa,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} && \ beta ^ {3}: = (\ alfa \ beta ^ {2} + \ beta ^ {3 })/2\\&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \ beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\\alpha ^{2}\beta :=(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}\beta )/2&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3 })/2\\\end{macierz}}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} i \ beta ^ {2} \ gamma: = (\ alfa \ beta \ gamma + \ beta ^ {2} \ gamma) / 2 \\\alpha \beta \gamma :=(\alpha ^{2}\gamma +\alpha \beta \gamma )/2&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^ {2} \ gamma ) / 2 \\\ koniec {macierzy}}}$