Trójkątny czworościan

Trójkątny czworościan można zbudować za pomocą oktanta współrzędnych i płaszczyzny przecinającej wszystkie 3 osie od początku układu współrzędnych, na przykład: x>0 y>0 z>0 i x/a+y/b+z/c<1

W geometrii trójkątny czworościan to czworościan , w którym wszystkie trzy kąty ścian w jednym wierzchołku są kątami prostymi . Ten wierzchołek nazywamy kątem prostym czworościanu trójprostokątnego, a przeciwległą ścianę nazywamy podstawą . Trzy krawędzie, które spotykają się pod kątem prostym, nazywane są nogami, a prostopadła od kąta prostego do podstawy nazywana jest wysokością czworościanu.

Tylko bifurkacyjny wykres $.$ Affine Coxeter ma podstawową domenę trójkątnego

Formuły metryczne

Jeśli ramiona mają długości a, b, c , to czworościan trójkątny ma objętość

{\ Displaystyle V = {\ Frac {abc} {6}}.}

Wysokość h spełnia

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {h ^ {2}}} = {\ Frac {1} {a ^ {2}}} + {\ Frac {1} {b ^ {2}}} + {\ ułamek {1}{c^{2}}}.}

Obszar podstawy jest określony przez ${\ displaystyle T_ {0}}$

{\ Displaystyle T_ {0} = {\ Frac {abc} {2h}}.}

Twierdzenie De Gua

Jeśli obszar podstawy to ${\ displaystyle T_ {0}},$ a obszary trzech innych (prostokątnych) ścian to ${\ displaystyle T_ {1}}$ , ${\ displaystyle T_ {2} }$ i wtedy ${\ displaystyle T_ {3}}$

{\ Displaystyle T_ {0} ^ {2} = T_ {1} ^ {2} + T_ {2} ^ {2} + T_ {3} ^ {2}.}

Jest to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na czworościan.

Rozwiązanie całkowitoliczbowe

Idealne ciało

Dwupiramida trójkątna z krawędziami (240, 117, 44, 125, 244, 267, 44, 117, 240)

Pole podstawy (a,b,c) jest zawsze (Gua) liczbą niewymierną. Zatem trójkątny czworościan z całkowitymi krawędziami nigdy nie jest ciałem doskonałym. Trójprostokątna bipiramida (6 ścian, 9 krawędzi, 5 wierzchołków) zbudowana z tych trójkątnych czworościanów i związanych z nimi lewoskrętnych czworościanów połączonych na ich podstawach ma wymierne krawędzie, ściany i objętość, ale wewnętrzna przekątna przestrzeni między dwoma trójkątnymi wierzchołkami jest wciąż irracjonalny. Ta ostatnia jest podwójną wysokością trójkątnego czworościanu i wymierną częścią (udowodnionej) irracjonalnej przekątnej przestrzennej powiązanej cegły Eulera (bc, ca, ab).

Krawędzie całkowite

$re$ całkowitymi nogami $d =$ bokami trójkąta podstawy istnieje, np. ${\ Displaystyle a = 240, b = 117, c = 44, d = 125, e = 244, f = 267}$ (odkryty 1719 przez Halcke'a ). Oto kilka innych przykładów z całkowitymi nogami i bokami.

abcdef

 240 117 44 125 244 267 275 252 240 348 365 373 480 234 88 250 488 534 550 504 480 696 730 746 693 480 140 500 707 843 720 351 132 375 732 801 720 132 85 157 725 732 792 231 160 281 808 825 825 6 25 1220 1335 1375 1260 1200 1740 1825 1865 1386 960 280 1000 1414 1686 1440 702 264 750 1464 1602 1440 264 170 314 1450 1464

Zauważ, że niektóre z nich są wielokrotnościami mniejszych. Należy również zwrócić uwagę na A031173 .

Całkowite twarze

${\ Displaystyle T_ {c}, T_ {a}, T_ {b}, T_ {0}}$ do wysokość h istnieje np. ${\ Displaystyle a = 42, b = 28, c = 14, T_ {c} = 588, T_ {a} = 196, T_ {b} = 294, T_ {0} = 686, h = 12}$ bez lub ${\ Displaystyle a = 156, b = 80, c = 65, T_ {c} = 6240, T_ {a} = 2600, T_ {b} = 5070, T_ {0} = 8450, h = 48} ze względnie$ pierwszą ${\ Displaystyle a, b, c}$ .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Trójprostokątny czworościan” . MathWorld .