Transformacja oznaczona gwiazdką

W matematyce stosowanej transformata gwiazdowa lub transformata gwiazdowa jest odmianą transformaty Laplace'a w czasie dyskretnym , nazwaną tak ze względu na gwiazdkę lub „gwiazdę” w zwyczajowym zapisie próbkowanych sygnałów. Transformacja jest operatorem funkcji czasu ciągłego $s )$ przekształcana w funkcję $X ^ {*} (s)}$ następujący sposób:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} X ^ {*} (s) = {\ mathcal {L}}[x(t)\cdot \delta _{T}(t)]={\mathcal {L}}[x^{*}(t)],\end{wyrównane}}}

gdzie jest funkcją grzebienia Diraca z okresem czasu T. ${\ Displaystyle \ delta _ {T} (t)}$

$gwiazdką jest wygodną abstrakcją matematyczną$ transformatę Laplace'a funkcji próbkowanej impulsowo która jest wynikiem idealnego próbnika , którego jest ciągłe funkcja, ${\ Displaystyle x (t)}$ .

Transformata z gwiazdką jest podobna do transformacji Z , z prostą zmianą zmiennych, gdzie transformata z gwiazdką jest wyraźnie zadeklarowana w odniesieniu do okresu próbkowania (T), podczas gdy transformacja Z jest wykonywana na dyskretnym sygnale i jest niezależna od próbkowania okres. To sprawia, że transformacja oznaczona gwiazdką jest zdenormalizowaną wersją jednostronnej transformacji Z , ponieważ przywraca zależność od parametru próbkowania T.

Związek z transformatą Laplace'a

gdzie ${\ Displaystyle X ^ {*} (s) = {\ mathcal {L}} [x ^ {*} (t)]$ }

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x ^ {*} (t) \ {\ stackrel {\ operatorname {def}} {=}} \ x (t) \ cdot \ delta _ {T} (t) & = x(t)\cdot \sum _{n=0}^{\infty}\delta (t-nT).\end{wyrównane}}}

Następnie zgodnie z twierdzeniem o splotach transformata oznaczona gwiazdką jest równoważna złożonemu splotowi ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [x (t)] = X (s)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} [\ delta _ {T} (t)] = {\ Frac {1} {1-e ^ {-Ts}}}}$ , stąd:

{\ Displaystyle X ^ {*} (s) = {\ Frac {1} {2 \ pi j}} \ int _ {cj \ infty} ^ {c + j \ infty} {X (p) \ cdot {\ frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}\cdot dp}.}

To całkowanie po linii jest równoważne całkowaniu w sensie dodatnim wzdłuż zamkniętego konturu utworzonego przez taką prostą i nieskończony półokrąg, który zawiera bieguny X(s) w lewej półpłaszczyźnie p . Wynikiem takiego całkowania (zgodnie z twierdzeniem o resztach ) byłoby:

{\ Displaystyle X ^ {*} (s) = \ suma _ {\ lambda = {\ tekst {bieguny}} X (s)} \ nazwa operatora {Res} \ limity _ {p = \ lambda} {\ bigg [ } X(p){\frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}{\bigg ]}.}

Alternatywnie, wspomniana całka liniowa jest równoważna całkowaniu w sensie ujemnym wzdłuż zamkniętego konturu utworzonego przez taką linię i nieskończony półokrąg obejmujący nieskończone bieguny 1 1 - mi - $Frac {1}{1-e^{-T(sp)}}}}$ w prawej półpłaszczyźnie p . Wynikiem takiej integracji byłoby:

{\ Displaystyle X ^ {*} (s) = {\ Frac {1} {T}} \ suma _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ lewo (sj {\ tfrac {2 \ pi} {T}}k\right)+{\frac {x(0)}{2}}.}

Relacja do transformacji Z

Biorąc pod uwagę transformację Z , X ( z ), odpowiadająca jej transformacja oznaczona gwiazdką jest prostym podstawieniem :

{\ Displaystyle {\ bigg.} X ^ {*} (s) = X (z) {\ bigg |} _ {\ Displaystyle z = e ^ {sT}}}

To podstawienie przywraca zależność od T .

Jest wymienny, ^{[ potrzebne źródło ]}

{\ Displaystyle {\ bigg.} X (z) = X ^ {*} (s) {\ bigg |} _ {\ Displaystyle e ^ {sT} = z}}

{\ Displaystyle {\ bigg.} X (z) = X ^ {*} (s) {\ bigg |} _ {\ Displaystyle s = {\ Frac {\ ln (z)} {T}}}}

Właściwości transformacji oznaczonej gwiazdką

$_$ 1 w $π$ ${\ Displaystyle j {\ tfrac {2 \ pi} {T}}.}$ _

{\ Displaystyle X ^ {*} (s + j {\ tfrac {2 \ pi} {T}} k) = X ^ {*} ( S)}

Właściwość 2: Jeśli $( s)}$ biegun na $,$ ${\ Displaystyle s = s_ {1}}$ to musi mieć bieguny w , gdzie ${\ Displaystyle \ scriptstyle k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots}$ $2 \ pi} {T}} k$ ±

Cytaty

Bech, Michael M. „Teoria sterowania cyfrowego” (PDF) . Uniwersytet AALBORG . Źródło 5 lutego 2014 r .
Gopal, M. (marzec 1989). Inżynieria sterowania cyfrowego . John Wiley & Synowie. ISBN 0852263082 .
Phillips i Nagle, „Analiza i projektowanie cyfrowego systemu sterowania”, wydanie 3, Prentice Hall, 1995. ISBN 0-13-309832-X