Tunel Ellisa

Przekrój równikowy tunelu czasoprzestrzennego Ellisa, katenoidu do { \ displaystyle {\ mathcal {C $}}$

Tunel czasoprzestrzenny Ellis jest szczególnym przypadkiem otworu drenażowego Ellis , w którym „eter” nie płynie i nie ma grawitacji. To, co pozostaje, to czysty tunel czasoprzestrzenny, po którym można się poruszać, składający się z pary identycznych bliźniaczych, niepłaskich, trójwymiarowych obszarów połączonych w dwusferę, „gardło” tunelu czasoprzestrzennego. Jak widać na pokazanym obrazie, dwuwymiarowe przekroje równikowe tunelu czasoprzestrzennego to katenoidalne „kołnierze”, które są asymptotycznie płaskie daleko od gardła. Ponieważ grawitacja nie działa, obserwator bezwładnościowy ( cząstka testowa ) może wiecznie pozostawać w spoczynku w dowolnym punkcie przestrzeni, ale jeśli zostanie wprawiony w ruch przez jakieś zaburzenie, będzie poruszał się po przekroju geodezyjnym równika ze stałą prędkością, podobnie jak foton. Zjawisko to pokazuje, że w czasoprzestrzeni zakrzywienie przestrzeni nie ma nic wspólnego z grawitacją (można by powiedzieć „zakrzywienie czasu”).

Jako szczególny przypadek otworu drenażowego Ellis , który sam w sobie jest „przejezdnym tunelem czasoprzestrzennym”, tunel czasoprzestrzenny Ellis sięga odkrycia otworu drenażowego w 1969 r. (Data pierwszego zgłoszenia) przez HG Ellisa i niezależnie mniej więcej w tym samym czasie przez KA Bronnikova.

Ellis i Bronnikow wyprowadzili oryginalny przejezdny tunel czasoprzestrzenny jako rozwiązanie równań pola próżni Einsteina powiększonych przez włączenie pola skalarnego $ujemna$ sprzężonego z geometrią czasoprzestrzeni z polaryzacją sprzężenia przeciwną do ortodoksyjnej polaryzacji ( zamiast pozytywnego). Kilka lat później MS Morris i KS Thorne wyprodukowali duplikat tunelu czasoprzestrzennego Ellisa do wykorzystania jako narzędzie do nauczania ogólnej teorii względności, twierdząc, że istnienie takiego tunelu wymaga obecności „ujemnej energii”, punkt widzenia, który Ellis rozważał i wyraźnie odmówił zaakceptować, ponieważ argumenty przemawiające za nim były nieprzekonujące.

Rozwiązanie tunelu czasoprzestrzennego

Metryka tunelu czasoprzestrzennego ma postać czasu właściwego

${\ Displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -d \ sigma ^ {2} \,,}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} d \ sigma ^ {2} i = d \ rho ^ {2} + r ^ {2} (\ rho) \, d \ Omega ^ { 2}\\&=d\rho ^{2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,d\Omega ^{2}\\&=d\rho ^{ 2}+\left(\rho ^{2}+n^{2}\right)\,\left[d\vartheta ^{2}+(\sin \vartheta )^{2}\,d\varphi ^ {2}\right]\;\;\end{wyrównane}}}$

i $rozwiązania$ parametrem otworu drenażowego, który przetrwa po ustawieniu parametru $drenażowego$ Ellisa na 0, aby zatrzymać przepływ eteru, a tym samym wyeliminować grawitację. Jeśli pójdziemy dalej i ustawimy $n$ to 0, the metric becomes that of Minkowski space-time, the flat space-time of the special theory of relativity.

W czasoprzestrzeni Minkowskiego każda podobna do czasu i każda podobna do światła (zerowa) geodezja jest prostą „linią świata”, która rzutuje na prostą geodezyjną przekroju równikowego wycinka czasu o stałej t , {\ displaystyle t $jak$ , $współrzędnych$ ten, na którym $metryką$ którego jest dwuprzestrzeń ${\ Displaystyle [\ rho, \ varphi]}$ , a mianowicie,

${\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ rho ^ {2} + \ rho ^ {2} \, d \ varphi ^ {2} \,.}$

Widzimy, że każda badana cząstka lub foton porusza się po takiej geodezyjnej równikowej ze stałą prędkością współrzędnych, która może wynosić 0, ponieważ nie ma pola grawitacyjnego wbudowanego w czasoprzestrzeń Minkowskiego. Wszystkie te właściwości czasoprzestrzeni Minkowskiego mają swoje odpowiedniki w tunelu czasoprzestrzennym Ellisa, zmodyfikowane jednak przez fakt, że metryka, a tym samym geodezja równikowych przekrojów poprzecznych tunelu czasoprzestrzennego nie są liniami prostymi, a raczej „najprostszymi możliwymi” ścieżkami w przekrojach. Warto zatem zobaczyć, jak wyglądają te geodezyjne równiki.

Geodezja równikowa tunelu czasoprzestrzennego

Geodezja ograniczona do jednej strony gardzieli tunelu czasoprzestrzennego

Geodezja wkracza w gardło tunelu czasoprzestrzennego

Geodezja przechodząca przez gardło tunelu czasoprzestrzennego

$takich$ równikowy tunelu czasoprzestrzennego określony przez $($ wszystkich ) ma

${\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ rho ^ {2} + \ lewo (\ rho ^ {2} + n ^ {2} \ prawo) \, d \ varphi ^ {2} \,.}$

Kiedy przekrój poprzeczny z tą metryką jest osadzony w euklidesowej trójprzestrzeni, obraz jest katenoidą $pokazaną$ , z pomiarem odległości od środkowego okręgu w ${\ displaystyle \ rho}$ gardło o promieniu $krzywej$ , na której $.$ zamocowana (pokazano jedną z nich) We współrzędnych cylindrycznych równanie $n \ cosh ($$\ Displaystyle r$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ n jako jego wykres.

Po kilku integracjach i podstawieniach równania dla geodezyjnej $przez$ redukują się do ${\ displaystyle s}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ varphi} {ds}} = {\ Frac {h} {\ rho ^ {2} + n ^ {2}}}}$

I

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {d \ rho} {ds}} \ prawej) ^ {2} + {\ Frac {h ^ {2}}{\rho ^{2}+n^{2}}}\,=1,}$

gdzie $stałą$ . re ${\ Displaystyle d \ rho / ds \ równoważnik 0 \,,}$ h $\ Displaystyle h ^ {2} = \ rho ^ {2 } + n ^ {2} \ geq n ^ {2} \,,}$${\ Displaystyle \ textstyle d \ varphi / ds = 1/h,}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle \ rho = \ pm {\ sqrt {h ^ {2} -n ^ {2}}} \,,}$ i odwrotnie. Zatem każdy „okrąg szerokości geograficznej” ( $)$ jest geodezyjny Jeśli z drugiej strony $aby$ identycznie 0, to jego zera są izolowane, a zredukowane równania można połączyć,

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {d \ varphi} {d \ rho}} \ prawej) ^ {2} = {\ Frac {h ^ {2}} {\ lewo (\ rho ^ {2} + n ^{2}\right)\left(\rho ^{2}+n^{2}-h^{2}\right)}}\,.}$

Należy rozważyć trzy przypadki:

• ${\ Displaystyle h ^ {2}> n ^ {2}},$ co implikuje, że ${\ Displaystyle \ rho ^ {2} \ geq h ^ {2 } -n ^ {2}> 0,}$ tak, że geodezja jest ograniczona do jednej lub drugiej strony tunelu czasoprzestrzennego i ma punkt zwrotny w ${\ Displaystyle \ textstyle \ rho = {\ sqrt {h^{2}-n^{2}}}}$ lub ${\ Displaystyle \ textstyle \ rho = - {\ sqrt {h ^ {2} -n ^ {2}}} \,;}$
• ${\ Displaystyle h ^ {2} = n ^ {2},}$$oznacza,$ , geodezja nie przecina gardło w ${\ Displaystyle \ rho = 0,},$ ale spiralnie na nim z jednej lub drugiej strony;
• ${\ Displaystyle h ^ {2}<n ^ {2}},$ co pozwala geodezyjnemu przejść przez tunel czasoprzestrzenny z jednej strony na drugą.

Na rysunkach przedstawiono przykłady trzech typów. Jeśli $displaystyle$ się zmieniać od $- \ infty}$ do ${\ displaystyle \ infty},$ liczba możliwych obrotów orbitalnych dla każdego typu, w tym szerokości geograficznych, jest nieograniczona. Dla pierwszego i trzeciego typu liczba rośnie do nieskończoności jako ${\ Displaystyle h ^ {2} \ do n ^ {2};}$ dla typu spiralnego i szerokości geograficznych liczba jest już nieskończona.

To, że te geodezyjne elementy mogą zaginać się wokół tunelu czasoprzestrzennego, jasno pokazuje, że sama krzywizna przestrzeni, bez pomocy grawitacji, może powodować, że cząstki testowe i fotony podążają ścieżkami, które znacznie odbiegają od linii prostych i mogą powodować efekty soczewkowania.

Dynamiczny tunel czasoprzestrzenny Ellis

Istnieje dynamiczna wersja tunelu czasoprzestrzennego Ellisa, która jest rozwiązaniem tych samych równań pola, których rozwiązaniem jest statyczny tunel czasoprzestrzenny Ellisa. Jego metryką jest

${\ Displaystyle c ^ {2} d \ tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -d \ sigma ^ {2} \,,}$

Gdzie

${\ Displaystyle d \ sigma ^ {2} = d \ rho ^ {2} + \ lewo [\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\,d\Omega ^{2} \,,}$

jest dodatnią stałą. ${\ displaystyle a}$ Istnieje „osobliwość punktowa” w $skończone$ ale wszędzie indziej metryka jest regularna, Geodezja, która nie napotyka osobliwości punktu, jest kompletna; te, które to robią, można rozszerzyć poza to, postępując wzdłuż dowolnej geodezji, która napotyka osobliwość z przeciwnego kierunku czasu i ma zgodne styczne (podobnie jak geodezja wykresu ${\ displaystyle z = (xy )^{3}}$ , które napotykają osobliwość na początku).

$metrykę$ ustalonej niezerowej wartości $t }$ , na którym ma

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} ds ^ {2} & = d \ rho ^ {2} + r ^ {2} (t, \ rho) \, d \ varphi ^ {2} \\& = d \ rho ^{2}+\left[\left(1+a^{2}\right)\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}\,\right]\ ,d\varphi ^{2}\,.\end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle ac | t |,}$$teraz$ równikowej statycznego tunelu czasoprzestrzennego, z promieniem $($ ) zastąpionym przez ${\ Displaystyle \ textstyle r (t, \ rho) = {\ sqrt {(1 + a ^ {2}) \ rho ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} t ^ {2} }}}$ ogólnie każdy okrąg szerokości geograficznej o promieniu geodezyjnym promień obwodowy $($ .

Dla metryki $\ displaystyle$$= 0$ t

${\ Displaystyle ds ^ {2} = d \ rho ^ {2} + \ lewo (1 + a ^ {2} \ prawo) \rho ^{2}\,d\varphi ^{2}\,,}$

który opisuje „hiperstożek” z wierzchołkiem w punkcie osobliwym, jego okręgi szerokości geograficznej o promieniu ${\ Displaystyle \ textstyle 2 \ pi r (0, \ rho) = 2 \ pi {\ sqrt {1 + a ^ {2}}} \ rho \,.} W przeciwieństwie do katenoidu, ani hiperkatenoid, ani hiperstożek nie są w$ obwodach $)$ pełni reprezentowalny jako powierzchnia w trójprzestrzeni euklidesowej; tylko części, w których ${\ Displaystyle \ textstyle | dr (t, \ rho) / d \ rho | = (1 + a ^ {2}) | \ rho | {\big /}{\sqrt {(1+a^{2})\rho ^{2}+a^{2}c^{2}t^{2}}}\leq 1} (więc$ gdzie $_$ _ ${\ Displaystyle \ textstyle r (t, \ rho) \ leq {\ sqrt {1 + a ^ {2}}} c | t |} ) można osadzić$ w w ten sposób.

Dynamicznie, gdy $równikowe$ się od $\ infty},$${\ displaystyle$ przekroje poprzeczne kurczą się z hiperkatenoidów o nieskończonym promieniu do hiperstożków (hiperkatenoidów o zerowym promieniu w ${\ displaystyle t = 0,}$ następnie rozwiń z powrotem do hiperkatenoidów o nieskończonym promieniu. Badanie tensora krzywizny ujawnia, że ​​w pełni dynamiczna rozmaitość czasoprzestrzenna tunelu czasoprzestrzennego Ellisa jest asymptotycznie płaska we wszystkich kierunkach $czasopodobna$ podobna do światła i podobna do przestrzeni.

Aplikacje

• Rozpraszanie przez tunel czasoprzestrzenny Ellis
• Soczewkowanie przestrzenne ( nie soczewkowanie grawitacyjne, ponieważ nie ma grawitacji) w tunelu czasoprzestrzennym Ellis
  • Mikrosoczewkowanie przez tunel czasoprzestrzenny Ellis
  • Efekt fali w soczewkowaniu przez tunel czasoprzestrzenny Ellis
  • Przemieszczenia środka ciężkości obrazu spowodowane mikrosoczewkowaniem przez tunel czasoprzestrzenny Ellis
  • Dokładne równanie soczewki dla tunelu czasoprzestrzennego Ellisa
  • Soczewkowanie przez tunele czasoprzestrzenne