Twierdzenie Appella-Humberta

W matematyce twierdzenie Appella – Humberta opisuje wiązki linii na złożonym torusie lub złożonej rozmaitości abelowej . Zostało to udowodnione dla torusa dwuwymiarowego przez Appella ( 1891 ) i Humberta ( 1893 ) oraz ogólnie przez Lefschetza ( 1921 )

Oświadczenie

Załóżmy, $określonym$$złożonym$ torusem $przestrzeni$ gdzie $kratą$ w złożonej Jeśli jest formą hermitowską na $\ displaystyle V$$}$${\ displaystyle E = {\ text {Im}}$$\Lambda}$ część urojona całkowa na $}$$times$ i jest mapą od $jednostkowego$${\ Displaystyle U (1) = \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | = 1 \}}$ , zwany półznakiem , taki że

${\ Displaystyle \ alfa (u + v) = e ^ {i \ pi E (u, v)} \ alfa (u)\alfa (v)\ }$

Następnie

${\ Displaystyle \ alfa (u) e ^ {\ pi H (z, u) + H (u, u) \ pi /2}\ }$

jest 1- kocyklem definiującym wiązkę linii na $displaystyle$$T}$ . Dla trywialnej formy hermitowskiej sprowadza się to do znaku . Zauważ, że przestrzeń morfizmów znaków jest izomorficzna z rzeczywistym torusem

${\ Displaystyle {\ tekst {Hom}} _ {\ textbf {Ab}} (\ Lambda, U (1)) \ cong \ mathbb { R} ^{2n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$

${\ Displaystyle \ Lambda \ cong \ mathbb {Z} ^ {2n}},$ ≅ $wszelkie$ takie czynniki charakteru składają się z mapy wykładniczej Oznacza to, że znak jest mapą formy

${\ Displaystyle {\ tekst {exp}} (2 \ pi i \ langle l ^ {*}, - \ rangle)}$

dla jakiegoś kowektora ${\ Displaystyle l ^ {*} \ w V ^ {*}}$ . Okresowość ${\ Displaystyle {\ tekst {exp}} (2 \ pi jeśli (x))}$ dla liniowego daje ${\ Displaystyle f (x)}$ izomorfizm grupy znaków z torusem rzeczywistym podanym powyżej. W rzeczywistości torus ten może być wyposażony w złożoną strukturę, dając podwójny złożony torus .

$dane$ wiązka linii na $na$ być skonstruowana przez wiązki ( co jest z konieczności trywialne) i , a mianowicie a $_$ izomorfizmów dla ${\ displaystyle u \ w U}$ . Takie izomorfizmy można przedstawić jako niezanikające funkcje holomorficzne na i dla każdego $wyrażenie$ jest odpowiednią funkcją $holomorficzną$

Twierdzenie Appella – Humberta ( $, że każda$ 2008 ) $i$$wiązka$ linii na być skonstruowana w ten sposób dla unikalnego wyboru spełniającego powyższe warunki.

Obszerne pakiety linii

Lefschetz udowodnił, że wiązka liniowa związana z $formą$ hermitowską jest $L^{\otimes 3}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $jest$ określona iw tym przypadku $H}$$\ displaystyle$ jest bardzo duże. Konsekwencją jest to, że złożony torus jest algebraiczny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dodatnio określona forma hermitowska, której część urojona jest całkowa na ${\ Displaystyle \ Lambda \ razy \ Lambda}$

Zobacz też

• Złożony torus do leczenia twierdzenia z przykładami

• Appell, P. (1891), "Sur les functiones périodiques de deux variables" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 7 : 157–219
• Humbert, G. (1893), "Théorie générale des surface hyperelliptiques" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Série IV, 9 : 29–170, 361–475
•    Lefschetz, Solomon (1921), „O niektórych niezmiennikach liczbowych odmian algebraicznych z zastosowaniem do odmian abelowych”, Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 22 (3): 327–406, doi : 10,2307 / 1988897 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988897
•    Lefschetz, Solomon (1921), „O niektórych niezmiennikach liczbowych odmian algebraicznych z zastosowaniem do odmian abelowych”, Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 22 (4): 407–482, doi : 10,2307 / 1988964 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1988964
•     Mumford, David (2008) [1970], Odmiany abelowe , Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, tom. 5, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-81-85931-86-9 , MR 0282985 , OCLC 138290