Twierdzenie Axa-Grothendiecka

W matematyce twierdzenie Axa – Grothendiecka jest wynikiem iniekcji i surjekcji wielomianów , co zostało udowodnione niezależnie przez Jamesa Axa i Alexandra Grothendiecka .

Twierdzenie jest często podawane jako ten szczególny przypadek: jeśli P jest iniekcyjną funkcją wielomianową z n -wymiarowej zespolonej przestrzeni wektorowej do samej siebie, to P jest bijektywna . Oznacza to, że jeśli ^P zawsze odwzorowuje różne argumenty na różne wartości, to wartości P obejmują wszystkie Cn .

Pełne twierdzenie uogólnia się na dowolną rozmaitość algebraiczną w algebraicznie zamkniętym ciele .

Dowód przez pola skończone

Dowód twierdzenia Grothendiecka opiera się na udowodnieniu analogicznego twierdzenia dla ciał skończonych i ich domknięć algebraicznych . Oznacza to, że dla dowolnego pola F Fn ^, które samo jest skończone lub które jest domknięciem pola skończonego, jeśli wielomian P od do samego siebie jest iniekcyjny, to jest bijekcyjny.

Jeśli F jest ciałem skończonym, to F ⁿ jest skończone. W tym przypadku twierdzenie jest prawdziwe z trywialnych powodów, które nie mają nic wspólnego z reprezentacją funkcji jako wielomianu: każde wstrzyknięcie skończonego zbioru do samego siebie jest bijekcją. Kiedy F jest algebraicznym domknięciem ciała skończonego, wynik wynika z Nullstellensatz Hilberta . Twierdzenie Axa – Grothendiecka dotyczące liczb zespolonych można zatem udowodnić, pokazując, że kontrprzykład nad C przełożyłby się na kontrprzykład w pewnym algebraicznym rozszerzeniu ciała skończonego.

Ta metoda dowodu jest godna uwagi, ponieważ jest przykładem idei, że finitystyczne relacje algebraiczne w ciałach o charakterystyce 0 przekładają się na relacje algebraiczne na ciałach skończonych o dużej charakterystyce. Zatem można użyć arytmetyki ciał skończonych, aby udowodnić stwierdzenie o C , mimo że nie ma homomorfizmu z dowolnego ciała skończonego do C . Dowód wykorzystuje zatem zasady teorii modeli, takie jak twierdzenie o zwartości, aby udowodnić elementarne stwierdzenie dotyczące wielomianów. Dowód dla przypadku ogólnego wykorzystuje podobną metodę.

Inne dowody

Istnieją inne dowody twierdzenia. Armand Borel dał dowód za pomocą topologii. Przypadek n = 1 i ciała C następuje, ponieważ C jest algebraicznie domknięte i można go również traktować jako szczególny przypadek wyniku, że dla dowolnej funkcji analitycznej f na C iniektywność f implikuje suriektywność f . Jest to wniosek z twierdzenia Picarda .

Powiązane wyniki

Inny przykład sprowadzenia twierdzeń o morfizmach typu skończonego do ciał skończonych można znaleźć w EGA IV : Udowodniono tam, że radykalny S -endomorfizm schematu X typu skończonego nad S jest bijatyczny (10.4.11) i że jeśli X / S ma skończoną prezentację, a endomorfizm jest monomorfizmem, to jest to automorfizm (17.9.6). Dlatego schemat skończonej prezentacji na podstawie S jest obiektem kohopfowskim w kategorii S -schematów.

Twierdzenie Axa – Grothendiecka może być również użyte do udowodnienia twierdzenia Garden of Eden , wyniku, który podobnie jak twierdzenie Axa – Grothendiecka wiąże iniekcję z surjekcją, ale raczej w automatach komórkowych niż w polach algebraicznych. Chociaż znane są bezpośrednie dowody tego twierdzenia, dowód za pomocą twierdzenia Axa – Grothendiecka rozciąga się szerzej, na automaty działające na podatne grupy .

Niektóre częściowe konwersje z twierdzeniem Axe-Grothendiecka:

• Ogólna suriektywna wielomianowa mapa n -wymiarowej przestrzeni afinicznej na skończenie wygenerowanym rozszerzeniu Z lub Z / p Z [ t ] jest bijektywna z wielomianem odwrotnym wymiernym na tym samym pierścieniu (a zatem bijektywna w przestrzeni afinicznej domknięcia algebraicznego).
• Ogólnie suriektywna wymierna mapa n -wymiarowej przestrzeni afinicznej nad polem Hilberta jest ogólnie bijektywna z wymierną odwrotnością zdefiniowaną na tym samym polu. („Pole Hilberta” definiuje się tutaj jako pole, dla którego zachodzi twierdzenie Hilberta o nieredukowalności, takie jak liczby wymierne i pola funkcyjne).

Linki zewnętrzne

• O'Connor, Michael (2008), Twierdzenie Axa: zastosowanie logiki do zwykłej matematyki .