Twierdzenie Axa-Kochena

Axa -Kochena , nazwane na cześć Jamesa Axa i Simona B. Kochana , stwierdza, że ​​dla każdej dodatniej liczby całkowitej d istnieje skończony zbiór Y d liczb pierwszych, taki że jeśli p jest dowolną liczbą pierwszą spoza Y d , to każdy jednorodny wielomian stopień d nad liczbami p-adycznymi w co najmniej d 2 + 1 zmiennych ma nietrywialne zero.

Dowód twierdzenia

Dowód twierdzenia szeroko wykorzystuje metody logiki matematycznej , takie jak teoria modeli .

Najpierw dowodzi się twierdzenia Serge'a Langa , stwierdzając, że analogiczne twierdzenie jest prawdziwe dla pola F p (( t )) formalnego szeregu Laurenta nad polem skończonym fa p z . Innymi słowy, każdy jednorodny wielomian stopnia d z więcej niż d 2 zmiennych ma nietrywialne zero (więc F p (( t )) jest ciałem C 2 ).

Następnie pokazuje się, że jeśli dwa pola o wartościach Henselowskich mają równoważne grupy wartościowania i pola resztowe, a pola resztowe mają cechę 0, to są one elementarnie równoważne (co oznacza, że ​​zdanie pierwszego rzędu jest prawdziwe dla jedynki wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawdziwe dla inny).

Następnie stosuje się to do dwóch pól, jednego określonego przez ultrailoczyn po wszystkich liczbach pierwszych ciał F p (( t )), a drugiego przez ultrailoczyn po wszystkich liczbach pierwszych pól p -adycznych Q p . Oba pola pozostałości są dane przez ultraprodukt nad polami F p , więc są izomorficzne i mają charakterystykę 0, a obie grupy wartości są takie same, więc ultraprodukty są elementarnie równoważne. (Przyjmowanie ultraproduktów jest używane do wymuszenia, aby pole pozostałości miało cechę 0; pola pozostałości F p (( t )) i Q p mają niezerową charakterystykę p .)

Elementarna równoważność tych ultraproduktów implikuje, że dla każdego zdania w języku wartościowanych pól istnieje skończony zbiór Y wyjątkowych liczb pierwszych, taki że dla dowolnego p spoza tego zbioru zdanie jest prawdziwe dla F p (( t )) jeśli i tylko wtedy, gdy jest to prawdziwe dla ciała liczb p -adycznych. Stosując to do zdania stwierdzającego, że każdy niestały jednorodny wielomian stopnia d w co najmniej d 2 +1 zmiennych reprezentuje 0, a używając twierdzenia Langa, otrzymujemy twierdzenie Axa-Kochena.

Alternatywny dowód

Jan Denef znalazł czysto geometryczny dowód na hipotezę Jean-Louisa Colliota-Thélène'a , która uogólnia twierdzenie Axa-Kochena.

Wyjątkowe liczby pierwsze

Emil Artin wysunął hipotezę, że skończony zbiór wyjątkowy Y d jest pusty (to znaczy, że wszystkie pola p -adyczne są C 2 ), ale Guy Terjanian znalazł następujący 2-adyczny kontrprzykład dla d = 4. Zdefiniuj

Wtedy G ma tę właściwość, że wynosi 1 mod 4, jeśli jakieś x jest nieparzyste, a 0 mod 16 w przeciwnym razie. Łatwo z tego wynika, że ​​forma jednorodna

sol ( x ) + sol ( y ) + sol ( z ) + 4 sol ( u ) + 4 sol ( v ) + 4 sol ( w )

stopnia d = 4 w 18 > d 2 zmienne nie mają nietrywialnych zer nad 2-adic liczbami całkowitymi.

Później Terjanian wykazał, że dla każdej liczby pierwszej p i wielokrotności d > 2 z p ( p - 1) istnieje forma nad liczbami p -adycznymi stopnia d z więcej niż d 2 zmiennymi, ale bez nietrywialnych zer. Innymi słowy, dla wszystkich d > 2, Y d zawiera wszystkie liczby pierwsze p takie, że p ( p - 1) dzieli d .

Brown (1978) podał wyraźne, ale bardzo duże ograniczenie dla wyjątkowego zbioru liczb pierwszych p . Jeśli stopień d wynosi 1, 2 lub 3, zbiór wyjątkowy jest pusty. Heath-Brown (2010) wykazał, że jeśli d = 5 zbiór wyjątkowy jest ograniczony przez 13, a Wooley (2008) wykazał, że dla d = 7 zbiór wyjątkowy jest ograniczony przez 883, a dla d = 11 przez 8053.

Zobacz też

Notatki

  1. ^ James Axe i Simon Kochen, problemy diofantyczne na polach lokalnych I. , American Journal of Mathematics, 87 , strony 605–630, (1965)
  2. ^ Denef, Jan. „Dowód przypuszczenia Colliot-Thélène” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 11 kwietnia 2017 r.
  3. ^ Denef, Jan (2016), Geometryczne dowody twierdzeń Ax-Kochena i Ersova , arXiv : 1601,03607 , Bibcode : 2016arXiv160103607D
  4. ^   Terjanian, Guy (1966). „Un contre-example à une conjecture d'Artin”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (w języku francuskim). 262 : A612. Zbl 0133.29705 .
  5. ^ Guy Terjanian, Formes p -adiques anisotropes. (Francuski) Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 313 (1980), strony 217–220