Twierdzenie Besicovitcha obejmujące

W analizie matematycznej pokrycie Besicovitcha , nazwane na cześć Abrama Samoilovicha Besicovitcha , jest otwartym pokryciem podzbioru E przestrzeni euklidesowej RN przez kule , tak że ^każdy punkt E jest środkiem jakiejś kuli w pokrywie.

Besicovitcha pokrywające stwierdza, że ​​istnieje stała c _N zależna tylko od wymiaru N o następującej właściwości:

• Mając dowolne pokrycie F Besicovitcha ograniczonego zbioru E , istnieje c _N podzbiorów kul A ₁ = { B _{n 1} }, …, A _{c N} = { B _{n c N} } zawartych w F takich, że każdy zbiór A _i składa się z kule rozłączne i

${\ Displaystyle E \ subseteq \ bigcup _ {i = 1} ^ {c_ {N}} \ bigcup _ {B \ w A_ {i}} B.}$

Niech G oznacza podzbiór F składający _{N się} ze wszystkich kul z c _N rozłącznych rodzin A ₁ ,..., Ac . Mniej precyzyjne stwierdzenie jest oczywiście prawdziwe: każdy punkt x ∈ R ^N należy co najwyżej do c _N różnych piłek z podzbioru G , a G pozostaje pokryciem dla E (każdy punkt y ∈ E należy do co najmniej jednej kuli z podzbioru G ). Ta właściwość daje w rzeczywistości równoważną postać twierdzenia (z wyjątkiem wartości stałej).

• Istnieje stała b _N zależna tylko od wymiaru N o następującej własności: Mając dowolne pokrycie Besicovitcha F zbioru ograniczonego E , istnieje podzbiór G zbioru F taki, że G jest pokryciem zbioru E i każdy punkt x ∈ E należy do co najwyżej b _N różnych kul z podpokrycia G .

Innymi słowy, funkcja S _G ^równa sumie funkcji wskaźnikowych kul w G jest większa niż 1 _E i ograniczona do RN przez stałą b _N ,

${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {E} \ równoważnik S _ {\ mathbf {G}}: = \ suma _ {B \ w \ mathbf {G}} \ mathbf {1} _ {B} \ równoważnik b_ { N}.}$

Zastosowanie do funkcji maksymalnych i nierówności maksymalnych

$funkcją$ μ będzie nieujemną miarą Borela na R ^N , skończoną na podzbiorach zwartych i $będzie$ integrowalną . Zdefiniuj funkcję maksymalną $infty \ razy 0 = 0} ) fa ∗ {\ displaystyle f ^ {*$ ustawiając dla każdego $\ displaystyle$ stosując konwencję) $\$ }

${\ Displaystyle f ^ {*} (x) = \ sup _ {r> 0} {\ Bigl (} \ mu (B (x, r)) ^ {- 1} \ int _ {B (x, r) }|f(y)|\,d\mu (y){\Bigr )}.}$

Ta maksymalna funkcja jest dolna półciągła , a więc mierzalna . Dla każdego λ > 0 spełniona jest następująca nierówność maksymalna :

${\ Displaystyle \ lambda \, \ mu {\ bigl (} \ {x: f ^ {*} (x)> \ lambda \} {\ bigr)} \ równoważnik b_ {N} \, \ int | f | \ ,d\mu .}$

Dowód.

Zbiór mi λ punktów x takich $przez$ że wyraźnie pokrycie _{F λ} B

${\ Displaystyle \ int \ mathbf {1} _ {B} \, | f |\ d \ mu = \ int _ {B} | f (y) | \, d \ mu (y)> \ lambda \, \ mu (B).}$

Dla każdego ograniczonego podzbioru borelowskiego E ´ z E _λ można znaleźć podzbiór G wyodrębniony z F _λ , który obejmuje E ´ i taki, że S _G ≤ b _N , stąd

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lambda \ \ mu (E ') i \ równoważnik \ lambda \ \ suma _ {B \ in \ mathbf {G}} \ mu (B) \\& \leq \sum _{B\in \mathbf {G}}\int \mathbf {1} _{B}\,|f|\,d\mu =\int S_{\mathbf {G}}\,| f|\,d\mu \leq b_{N}\,\int |f|\,d\mu ,\end{wyrównane}}}$

co implikuje powyższą nierówność.

Gdy mamy do czynienia z miarą Lebesgue'a na R ^N , bardziej zwyczajowo stosuje się łatwiejszy (i starszy) lemat Vitali obejmujący w celu wyprowadzenia poprzedniej maksymalnej nierówności (z inną stałą).

Zobacz też

• Witalij obejmujący lemat

• Besicovitch, AS (1945), „Ogólna postać zasady pokrycia i względnego różnicowania funkcji addytywnych, I”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 41 (02): 103–110, doi : 10.1017 / S0305004100022453 .
  • „Ogólna postać zasady pokrycia i względnego zróżnicowania funkcji addytywnych, II”, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 42 : 205–235, 1946, doi : 10.1017 / s0305004100022660 .
•   DiBenedetto, E (2002), Analiza rzeczywista , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4231-5 .
•   Furedi, Z ; Loeb, PA (1994), „O najlepszej stałej dla twierdzenia Besicovitcha obejmującego”, Proceedings of the American Mathematical Society , 121 (4): 1063–1073, doi : 10.2307/2161215 , JSTOR 2161215 .