Twierdzenie Boole'a o ekspansji

Twierdzenie Boole'a o ekspansji , często określane jako rozwinięcie lub rozkład Shannona , to tożsamość : $'}}$${\ Displaystyle F = x \ cdot F_ {x} + x '\ cdot F_ {$$funkcją$$,$ gdzie jest dowolną boolowską $,$ jest $\ displaystyle F_ {x}}$ , jest dopełnieniem i ${$$}$ i są równe ${\ displaystyle F_ {x'}}$${\ displaystyle F}$$z$ argumentem ustawionym na ${\ displaystyle 1}$ i ${\$$0}$ odpowiednio.

Terminy i $}$ odpowiednio dodatnimi i ujemnymi $kofaktorami$ w fa $F$$\$ . Są to funkcje, obliczane przez operatora ograniczającego , ${\ Displaystyle \ operatorname {ograniczyć} (F, x, 0)}$$Displaystyle \ operatorname {ograniczyć } (F,x,1)}$ ( (patrz wartościowanie (logika) i częściowe zastosowanie ).

Zostało to nazwane „podstawowym twierdzeniem algebry Boole'a”. Poza znaczeniem teoretycznym utorowało drogę binarnym diagramom decyzyjnym (BDD), rozwiązaniom spełnialności i wielu innym technikom związanym z inżynierią komputerową i formalną weryfikacją obwodów cyfrowych. W takich kontekstach inżynierskich (zwłaszcza w BDD) rozwinięcie jest interpretowane jako $displaystyle$ -then-else , przy czym zmienna jest warunkiem, a kofaktorami są gałęzie ( $F_ {x} }$$,$ gdy $prawdziwe$ i $fałszywe$ gdy )

Stwierdzenie twierdzenia

Bardziej wyraźnym sposobem sformułowania twierdzenia jest:

${\ Displaystyle f ( X_{1},X_{2},\kropki ,X_{n})=X_{1}\cdot f(1,X_{2},\kropki ,X_{n})+X_{1}'\cdot f(0,X_{2},\kropki,X_{n})}$

Wariacje i implikacje

Forma XOR

Oświadczenie obowiązuje również wtedy, gdy alternatywę „+” zastąpimy operatorem XOR :

${\ Displaystyle f (X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {n}) = X_ {1} \ cdot f (1, X_ {2},\dots ,X_{n})\oplus X_{1}'\cdot f(0,X_{2},\dots ,X_{n})} Postać podwójna Istnieje podwójna postać$

rozwinięcia

Shannona (który nie ma powiązanej formy XOR):

${\ Displaystyle f (X_ {1}, X_ {2}, \ kropki, X_ {n}) = (X_ {1} + f (0, X_ {2}, \ kropki ,X_{n}))\cdot (X_{1}'+f(1,X_{2},\kropki ,X_{n}))}$

Powtarzane zastosowanie dla każdego argumentu prowadzi do kanonicznej postaci sumy produktów (SoP) funkcji boolowskiej ${\ displaystyle f}$ . Na przykład dla ${\ displaystyle n = 2}$ tak by było

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (X_ {1}, X_ {2}) i =X_{1}\cdot f(1,X_{2})+X_{1}'\cdot f(0,X_{2})\\&=X_{1}X_{2}\cdot f(1 ,1)+X_{1}X_{2}'\cdot f(1,0)+X_{1}'X_{2}\cdot f(0,1)+X_{1}'X_{2}' \cdot f(0,0)\end{wyrównane}}}$

Podobnie, zastosowanie formy podwójnej prowadzi do postaci kanonicznej iloczynu sum $displaystyle$ PoS) (przy użyciu prawa rozdzielności z ): $+}$ nad :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównane}f(X_{1},X_{2})&=(X_{1}+f(0,X_{2}))\cdot (X_{1}'+f(1,X_{2} ))\\&=(X_{1}+X_{2}+f(0,0))\cdot (X_{1}+X_{2}'+f(0,1))\cdot (X_{ 1}'+X_{2}+f(1,0))\cdot (X_{1}'+X_{2}'+f(1,1))\end{wyrównane}}}$

Właściwości kofaktorów

$boolowskich$ funkcji Liniowe $prawdziwe$

kofaktorów:

boolowskiej , się z dwóch i H , są

Jeśli ${\ Displaystyle F = G \ cdot H}$ to fa ${\ Displaystyle F_ {x} = G_ {x} \ cdot H_ {x}}$

Jeśli ${\ Displaystyle F = G + H}$ , to ${\ Displaystyle F_ {x} = G_ {x} + H_ {x}}$

Jeśli ${\ Displaystyle F = G \ oplus H}$ , a następnie ${\ Displaystyle F_ {x} = G_ {x} \ oplus H_ {x}}$

Charakterystyka funkcji unate:

Jeśli F jest a jednoznaczna ...

Jeśli F jest $_$

jeśli F ujemna ${\ Displaystyle F = F_ {x} + x '\ cdot F_ {x'}}$

Operacje z kofaktorami

Różnica boolowska:

różnica boolowska lub pochodna boolowska funkcji F w odniesieniu do dosłownego x jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe F} {\ częściowe x} } = F_ {x} \ oplus F_ {x'}}$

Kwantyfikacja uniwersalna:

Kwantyfikacja uniwersalna F jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle \ forall xF = F_ {x} \ cdot F_ {x '}}$

Kwantyfikacja egzystencjalna:

Egzystencjalna kwantyfikacja F jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle \ istnieje xF = F_ {x} + F_ {x'}}$

Historia

George Boole przedstawił to rozszerzenie jako swoją Propozycję II, „Rozszerzenie lub rozwinięcie funkcji obejmującej dowolną liczbę symboli logicznych” w swoich Prawach myśli (1854) i było ono „szeroko stosowane przez Boole'a i innych dziewiętnastowiecznych logików”.

Claude Shannon wspomniał o tym rozszerzeniu, między innymi tożsamościami boolowskimi, w artykule z 1949 roku i pokazał interpretacje tożsamości w sieci przełączania. W literaturze dotyczącej projektowania komputerów i teorii przełączania tożsamość jest często błędnie przypisywana Shannonowi.

Zastosowanie do obwodów przełączających

1. Binarne diagramy decyzyjne wynikają z systematycznego stosowania tego twierdzenia
2. Dowolna funkcja Boole'a może być zaimplementowana bezpośrednio w obwodzie przełączającym przy użyciu hierarchii podstawowego multipleksera poprzez wielokrotne stosowanie tego twierdzenia.

Zobacz też

• Rozwinięcie Reeda-Mullera

Linki zewnętrzne

• rozkładu Shannona z multiplekserami.
• Optymalizacja cykli sekwencyjnych poprzez rozkład Shannona i zmianę czasu (PDF) Dokument dotyczący aplikacji.