Twierdzenie Brianchona

W geometrii twierdzenie Brianchona jest twierdzeniem stwierdzającym, że gdy sześciokąt jest opisany wokół przekroju stożkowego , jego główne przekątne (te łączące przeciwległe wierzchołki) spotykają się w jednym punkcie. Jej nazwa pochodzi od Charlesa Juliena Brianchona (1783–1864).

Oświadczenie formalne

Niech ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2} P_ {3} P_ {4} P_ {5} P_ {6}}$ będzie sześciokątem utworzonym przez sześć stycznych sekcja stożkowa . Następnie linie $; {\ overline {P_ {3} P_ {6}}}} ($ ${\ Displaystyle {\ overline {P_ {1} P_ {4}}}, \; {\ overline {P_ {2} P_ {5 }}},$ $przedłużone$ przekątne, z których każda łączy przeciwne wierzchołki) przecinają się w jednym punkcie , punkcie Brianchon .

Połączenie z twierdzeniem Pascala

Biegunowa odwrotność i podwójny rzut tego twierdzenia dają twierdzenie Pascala .

Degeneracje

Degeneracja 3-styczna twierdzenia Brianchona

Jeśli chodzi o twierdzenie Pascala, istnieją również degeneracje twierdzenia Brianchona: Niech pokrywają się dwie sąsiednie styczne. Ich punkt przecięcia staje się punktem stożka. Na diagramie trzy pary sąsiednich stycznych pokrywają się. Ta procedura skutkuje stwierdzeniem o inelipsach trójkątów. Z rzutowego punktu widzenia dwa trójkąty ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {3} P_ {5}}$ i ${\ Displaystyle P_ {2} P_ {4} P_ {6}}$ leżeć perspektywicznie ze środkiem ${\ displaystyle B}$ . Oznacza to, że istnieje centralna kolineacja, która odwzorowuje jeden na drugi trójkąt. Ale tylko w szczególnych przypadkach ta kolineacja jest skalowaniem afinicznym. Na przykład dla inelipsy Steinera, gdzie punktem Brianchona jest środek ciężkości.

W płaszczyźnie afinicznej

Twierdzenie Brianchona jest prawdziwe zarówno na płaszczyźnie afinicznej , jak i rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej . Jednak jego stwierdzenie na płaszczyźnie afinicznej jest w pewnym sensie mniej pouczające i bardziej skomplikowane niż na płaszczyźnie rzutowej . Rozważmy na przykład pięć stycznych do paraboli . Można je uznać za boki sześciokąta, którego szósty bok jest linią w nieskończoności , ale nie ma linii w nieskończoności na płaszczyźnie afinicznej. W dwóch przypadkach linia od (nieistniejącego) wierzchołka do przeciwległego wierzchołka byłaby linią równoległą do jednej z pięciu stycznych. Twierdzenie Brianchona określone tylko dla płaszczyzny afinicznej musiałoby zatem zostać sformułowane inaczej w takiej sytuacji.

Rzutowa liczba podwójna twierdzenia Brianchona ma wyjątki na płaszczyźnie afinicznej, ale nie na płaszczyźnie rzutowej.

Dowód

Twierdzenie Brianchona można udowodnić za pomocą idei radykalnej osi lub odwrotności.

Zobacz też