nieelipsa

Przykład inelipsy

W geometrii trójkąta , inelipsa to elipsa , która dotyka trzech boków trójkąta . Najprostszym przykładem jest incircle . Innymi ważnymi elipsami są inelipsa Steinera , która dotyka trójkąta w punktach środkowych jego boków, inelipsa Mandarta i inelipsa Brocarda (patrz sekcja przykładów ). Dla każdego trójkąta istnieje nieskończona liczba inelips.

Inelipsa Steinera odgrywa szczególną rolę: jej pole jest największe ze wszystkich inelips.

Ponieważ niezdegenerowany przekrój stożkowy jest jednoznacznie określony przez pięć elementów ze zbiorów wierzchołków i stycznych, w trójkącie, którego trzy boki są podane jako styczne, można określić tylko punkty styku z dwóch boków. Trzeci punkt styku jest wtedy jednoznacznie określony.

Reprezentacje parametryczne, środek, średnice sprzężone

Elipsa trójkąta jest jednoznacznie określona przez wierzchołki trójkąta i dwa punkty styku

{\ Displaystyle U, V}

.

Nieelipsa trójkąta z wierzchołkami

{\ Displaystyle O = (0,0), \; A = (a_ {1}, a_ {2} ),\;B=(b_{1},b_{2})}

i punkty styku

{\ Displaystyle U = (u_ {1}, u_ {2}), \; V = (v_ {1}, v_ {2} )}

na ${\ displaystyle OA}$ i ${\ displaystyle OB}$ można opisać wymierną reprezentacją parametryczną

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {4u_ {1} \ xi ^ {2} + v_ {1} ab} {4 \ xi ^ {2} + 4 \ xi + ab}}, {\ frac {4u_ { 2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ ,}$

gdzie są jednoznacznie określone przez wybór punktów styku: ${\ displaystyle a, b}$

{\ Displaystyle a = {\ Frac {1} {s-1}}, \ u_ {i} = sa_ {i}, \ quad b = {\ Frac {1} {t-1}}, \ v_ {i }=tb_{i}\;,\ 0<s,t<1\;.}

Trzecim punktem kontaktowym jest

{\ Displaystyle W = \ lewo ({\ Frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 2}} \;, \; {\ Frac {u_ {2} a + v_ {2} }b}{a+b+2}}\prawo)\;.}

Środek inelipsy to

{\ Displaystyle M = {\ Frac {ab} {ab-1}} \ lewo ({\ Frac {u_ {1} + v_ {1}} {2}}, {\ Frac {u_ {2} + v_ { 2}}{2}}\prawo)\;.}

Wektory

{\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {1} = {\ Frac {1} {2}} {\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})}

{\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {2} = {\ Frac {1} {2}} {\ sqrt {\ Frac {ab} {ab-1}}} \; (u_ {1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;}

to dwie sprzężone półśrednice , a inelipsa ma bardziej powszechną reprezentację parametryczną trygonometryczną

${\ Displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {OM}} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos \ varphi + {\ vec {f}} _ {2} \ sin \ varphi \;.}$

punkt Brianchona

{\ displaystyle K}

Punkt Brianchona inelipsy (punkt wspólny $linii$ ZA $, {\ overline {BU}}, {\ overline {OW}}}$ ) jest

{\ Displaystyle K: \ lewo ({\ Frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 1}} \; \; {\ Frac {u_ {2} a + v_ {2} }b}{a+b+1}}\prawo)\ .}

Zróżnicowanie jest łatwą opcją określenia dwóch punktów styku $V}$ $displaystyle U$ . Podane granice dla $że$ punkty styku znajdują się po bokach trójkąta Zapewniają granice $displaystyle a, b}$ ${\ Displaystyle - \ infty <a, b <-1}$ .

Uwaga: Parametry nie $dwóch$ ani półosiami inelipsy, ani długościami

Przykłady

Mandartowa inelipsa

Elipsa Steinera

Dla $\ tfrac {1} {2}}}$ $punkty$ styku są środkami boków inelipsa to inelipsa Steinera (jej środkiem jest środek ciężkości trójkąta).

Zakreśl

Dla ${\ Displaystyle s = {\ tfrac {| OA | + | OB | - | AB | {2 | OA |}}, \; t = {\ tfrac {| OA | + | OB | - | AB |} 2|OB|}}}$ jeden dostaje wpisany w trójkąt ze środkiem

{\ Displaystyle {\ vec {OM}} = {\ Frac {| OB | {\ vec {OA}} + | OA | {\ vec {OB}}} {| OA | + | OB | + | AB |} }\;.}

Mandartowa inelipsa

Dla ${\ Displaystyle s = {\ tfrac {| OA | - | OB | + | AB | {2 | OA |}}, \; t = {\ tfrac {- | OA | + | OB | + | AB |} {2|OB|}}}$ inelipsa jest inelipsą Mandarta trójkąta. Dotyka boków w punktach styku ekskręgów ( patrz schemat).

Elipsa Brocarda

Dla ${\ Displaystyle \ s = {\ tfrac {|OB | ^ {2}} {| OB | ^ {2} + | AB | ^ {2}}} \; \ quad t = {\ tfrac {| OA |^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;}$ otrzymujemy inelipsę Brocarda . Jest jednoznacznie określony przez jego punkt Brianchona podany we współrzędnych trójliniowych ${\ Displaystyle \ K: (| OB |: | OA |:| AB |) \ }$ .

Pochodne stwierdzeń

displaystyle \ eta}

inelipsy przez rozwiązanie problemu hiperboli w płaszczyźnie -

{\

i dodatkowe przekształcenie rozwiązania w płaszczyznę x - y .

{\ Displaystyle M}

jest środkiem poszukiwanej elipsy i

{\ Displaystyle D_ {1} D_ {2}, \; E_ {1} E_ {2}}

dwie sprzężone średnice. W obu płaszczyznach istotne punkty są oznaczone tymi samymi symbolami.

{\ Displaystyle g _ {\ infty}}

jest linią w nieskończoności płaszczyzny x - y .

Nowe współrzędne

W celu udowodnienia stwierdzeń rozważa się zadanie rzutowo i wprowadza dogodne nowe niejednorodne $-$ takie , że pożądany przekrój stożkowy pojawia się jako $,$ a punkty $U,V$ stają się punktami w nieskończoności nowych osi współrzędnych. Punkty ${\ Displaystyle A = (a_ {1}, a_ {2}), \; B = (b_ {1}, b_ {2})}$ zostanie opisane w nowym układzie współrzędnych przez ${\ Displaystyle A = [a, 0], B = [0, b]}$ i odpowiednia linia ma równanie ${\ Displaystyle {\ Frac {\xi }{a}}+{\frac {\eta}{b}}=1}$ . (Poniżej się okaże, że ${\ displaystyle a, b}$ mają rzeczywiście takie samo znaczenie, jak w powyższym stwierdzeniu.) Teraz poszukiwana jest hiperbola z osiami współrzędnych jako asymptotami, która dotyka linii ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ . To łatwe zadanie. Za pomocą prostego obliczenia otrzymuje się hiperbolę z równaniem ${\ Displaystyle \ eta = {\ Frac {ab} {4 \ xi}}}$ . Dotyka linii w punkcie ${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$ ${\ Displaystyle W = [{\ tfrac {a} {2}}, {\ tfrac {b} {2}}]}$ .

Transformacja współrzędnych

Transformacja rozwiązania na płaszczyznę x - y zostanie wykonana przy użyciu współrzędnych jednorodnych i macierzy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {1} i v_ {1} i 0 \\ u_ {2} i v_ {2} i 0 \\ 1 i 1 i 1 \ koniec {bmatrix} }\quad }

.

Punkt ${\ Displaystyle [x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}]}$ jest mapowany na

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} u_ {1}& v_ {1} i 0 \\ u_ {2} i v_ {2} i 0 \\ 1 i 1 i 1 \ koniec {bmatrix}} {\ rozpocząć {bmatrix} x_ {1} \\ x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}\\u_{2}x_{1} +v_{2}x_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}\end{pmatrix}}\rightarrow \left({\frac {u_{1}x_{1}+v_ {1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\;,\;{\frac {u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2 }}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\right),\quad {\text{if }}x_{1}+x_{2}+x_{3}\neq 0. }

Punkt płaszczyzny jest $\ Displaystyle$ ${\ Displaystyle [\ xi, \ eta, 1] ^ {T}}$ wektor kolumnowy $]$ $eta$ (patrz współrzędne jednorodne ). Punkt w nieskończoności jest reprezentowany przez ${\ Displaystyle [\ cdots, \ cdots, 0] ^ {T}}$ .

_ 0]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1},u_{2})\ ,\quad V:\ [0,1,0]^{T}\ \rightarrow \ (v_{1},v_ {2})\ ,}

{\ Displaystyle O: \ [0,0] \ \ rightarrow \ (0,0)\ ,\quad A:\ [a,0]\rightarrow \ (a_{1},a_{2})\ ,\quad B:\ [0,b]\rightarrow \ (b_{1 },b_{2})\ ,}

(Należy wziąć pod uwagę:

{\ Displaystyle \ a = {\ tfrac {1} {s-1}}, \ u_ {i} = sa_ { i},\quad b={\tfrac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;}

; patrz wyżej.)

istotnych

${\ Displaystyle g _ {\ infty}: \ xi + \ eta + 1 = 0 \}$ jest równaniem linii w nieskończoności płaszczyzny x - y ; jego punkt w nieskończoności to ${\ Displaystyle [1, -1,0] ^ {T}}$ .

{\ Displaystyle [1, -1, {\ kolor {czerwony} 0}] ^ {T} \ \ rightarrow \ (u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},{\kolor {czerwony}0})^{T}}

$nieskończoności$ punkt w nieskończoności $)$ $-$ płaszczyźnie jest odwzorowywany na punkt w x y - samolot. Oznacza to, że: dwie styczne hiperboli, które są równoległe do $są$ również równoległe w x - y . Ich punktami kontaktowymi są

{\ Displaystyle D_ {i}: \ lewo [{\ Frac {\ pm {\ sqrt {ab}}} {2}}, {\ Frac {\ pm {\ sqrt {ab}}} {2}} \ prawo ]\ \rightarrow \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{1\pm {\sqrt {ab}}}}\;(u_{1}+ v_{1},u_{2}+v_{2}),\;}

$D_ {1} D_ {2}}$ $displaystyle$ elipsy w punktach , cięciwa jest średnicą, re 1 re punkt środkowy $_$ elipsy

{\ Displaystyle M: ​​\ {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {ab} {ab-1}} \ lewo (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2} \Prawidłowy)\;.}

Łatwo sprawdzić, czy ma $\ xi}$ ${\ displaystyle$ - $\ displaystyle \ eta}$ {

{\ Displaystyle \ M: \; \ lewo [{\ Frac {-ab} {2}}, {\ Frac {-ab} {2}} \ prawo] \;.}

Aby określić średnicę elipsy, która jest sprzężona z , $}$ płaszczyźnie - re $displaystyle$ $D_ {1} D_ {2}$ trzeba wyznaczyć wspólne punkty z linią $jej$ $to$ stycznych ${\ Displaystyle \ xi + \ eta + ab = 0}$ ). mi ja $}: \ lewo [{\ tfrac {- ab\pm {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}},{\tfrac {-ab\mp {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}}\right]}$ . A w x - y -współrzędne:

{\ Displaystyle \ E_ {i} = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {ab} {ab-1}} \ lewo (u_ {1} + v_ {1}, u_ {2} + v_ {2}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab(ab-1)}}{ab-1}}\left(u_{1}-v_{1 },u_{2}-v_{2}\right)\;,}

Z dwóch sprzężonych średnic można pobrać dwie wektorowe sprzężone półśrednice ${\ Displaystyle D_ {1} D_ {2}, E_ {1} E_ {2}}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ vec {f}} _ {1} & = {\ vec {MD_ {1}}} = {\ Frac {1} {2}

i przynajmniej trygonometryczne parametryczne przedstawienie inelipsy:

{\ Displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {OM}} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos \ varphi + {\ vec {f}} _ {2} \ sin \ varphi \;.}

Analogicznie jak w przypadku elipsy Steinera można wyznaczyć półosie, mimośród, wierzchołki, równanie we współrzędnych x - y oraz obszar inelipsy.

Trzeci punkt styku na ${\ displaystyle AB}$ $to$ :

{\ Displaystyle W: \ lewo [{\ Frac {a} {2}}, {\ Frac {b} {2}} \ prawo] \ \ rightarrow \ \ lewo ({\ Frac {u_ {1} a + v_ {1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.}

Punkt Brianchona w elipsie jest punktem wspólnym trzech linii $Ż$ ${\ overline {BU}}, {\overline {OW}}}$ . W płaszczyźnie - ${\ Displaystyle \ xi}$ - ${\ Displaystyle \ eta}$ -płaszczyzna te linie mają równania: ${\ Displaystyle \ xi = a \;, \; \ eta = b \;, \; a \ eta -b \ xi = 0}$ . Stąd punkt ma współrzędne: ${\ displaystyle K}$

{\ Displaystyle K: \ [a, b] \ \ rightarrow \ \ lewo ({\ Frac {u_ {1} a + v_ {1} b} {a + b + 1}} \;, \; {\ frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\prawo)\ .}

Przekształcenie hiperboli daje wymierną parametryczną reprezentację inelipsy: ${\ Displaystyle \ \ eta = {\ Frac {ab} {4 \ xi}}}$

{\ Displaystyle \ lewo [\ xi, {\ Frac {ab} {4 \ xi}} \ prawo] \ \ rightarrow \ \ lewo ({\ Frac {4u_ {1} \ xi ^ {2} + v_ {1} ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4 \xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ .}

Zakreśl kółkiem

Okrąg trójkąta

Dla okręgu jest ${\ Displaystyle | OU | = | OV |}$ , co jest równoważne

(1)

{\ Displaystyle \; s | OA | = t | OB | \;. \ }

Dodatkowo

(2)

{\ Displaystyle \; (1-s) | OA | + (1-t) | OB | = | AB |}

. (patrz schemat)

Rozwiązując te dwa równania dla ${\ displaystyle s, t}$ się

(3)

{\ Displaystyle \; s = {\ Frac {| OA | + | OB | - | AB | {2 | OA |}}, \; t = {\ Frac {| OA | + | OB | - | AB | {2|OB|}}\;.}

Aby uzyskać współrzędne środka, najpierw oblicza się za pomocą (1) i (3)

{\ Displaystyle 1- {\ Frac {1} {ab}} = 1 - (s-1) (t-1) = - st + s + t = \ cdots = {\ Frac {s} {2 (| OB |}}(|OA|+|OB|+|AB|)\;.}

Stąd

{\ Displaystyle {\ vec {OM}} = {\ Frac {| OB |} {s (| OA | + | OB | + | AB |)}} \; (s {\ vec {OA}} + t { \vec {OB}})=\cdots ={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|} }\;.}

Mandart inelipsa

Parametry $inelipsy$ punktów kontaktu (patrz de: Ankreis .

Elipsa Brocarda

$_ |AB|)\ }$ trójkąta trójliniowych . Zamiana współrzędnych trójliniowych na wygodniejszą reprezentację ${\ Displaystyle \ K: k_ {1} {\ vec {OA}} + k_ {2} {\ vec {OB}} \}$ (patrz współrzędne trójliniowe ) daje ${\ Displaystyle \ k_ {1} = {\ tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}}, \ ;k_{2}={\tfrac {|OA|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\ }$ . Z drugiej strony, jeśli podane są parametry $oblicza$ na podstawie powyższego $wzoru$ : ${\ Displaystyle \ k_ {1} = {\ tfrac {s (t-1)} {st-1}}, \; k_ {2} = {\ tfrac { t(s-1)}{st-1}}\ }$ . Wyrównując oba wyrażenia dla $, k_ {2}}$ dla plonów $\ Displaystyle k_ {1}$

{\ Displaystyle s = {\ Frac {| OB | ^ {2}} {| OB | ^ {2} + | AB | ^ {2}}} \; \ quad t = {\ Frac {| OA | ^ {2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;.}

Inelipsa o największym polu

Inelipsa Steinera ma największe pole ze wszystkich inelips w trójkącie.

Dowód

Z twierdzenia Apoloniusza o właściwościach sprzężonych półśrednic elipsy otrzymuje się: ${\ Displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}}$

{\ Displaystyle F = \ pi \ lewo | \ det ({\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}) \ prawo | \ quad} (patrz artykuł o

elipsie Steinera ) .

Dla inelipsy z parametrami otrzymuje się ${\ displaystyle s, t}$

{\ Displaystyle \ det ({\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}) = {\ Frac {1} {4}} {\ Frac {ab} {(ab -1)^{3/2}}}\det(s{\vec {a}}+t{\vec {b}},s{\vec {a}}-t{\vec {b}}) }

{\ Displaystyle = {\ Frac {1} {2}}} {\ Frac {s {\ sqrt {s-1}} \; t {\ sqrt {t-1}}} {(1- (s-1) (t-1))^{3/2}}}\det({\vec {b}},{\vec {a}})\;,}

gdzie
${\ Displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}), \; {\ vec {b}} = (b_ {1}, b_ {2}), \;{\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2}),\;{\vec {u} }=s{\vec {a}},\;{\vec {v}}=t{\vec {b}}}$ . Aby pominąć pierwiastki, wystarczy zbadać ekstrema funkcji ${\ Displaystyle G (s, t) = {\ tfrac {s ^ {2} (s-1) \; t ^ {2} (t-1)} (1-(s-1)(t-1))^{3}}}}$ :