Twierdzenie Bruna-Titchmarsha

W analitycznej teorii liczb twierdzenie Bruna -Titchmarsha , nazwane na cześć Viggo Bruna i Edwarda Charlesa Titchmarsha , jest górną granicą rozkładu liczb pierwszych w postępie arytmetycznym .

Oświadczenie

Niech $Displaystyle \ pi (x; q, a)}$ \ policz liczbę liczb pierwszych p przystających do modulo q z p ≤ x . Następnie

${\ Displaystyle \ pi (x; q, a) \ równoważnik {2x \ ponad \ varphi (q) \ log (x / Q)}}$

dla wszystkich q < x .

Historia

Wynik został udowodniony metodami sitowymi Montgomery'ego i Vaughana; wcześniejszy wynik Bruna i Titchmarsha dał słabszą wersję tej nierówności z dodatkowym mnożnikiem ${\ Displaystyle 1 + o (1)}$ .

Ulepszenia

Jeśli q jest stosunkowo małe, np. , to istnieje lepsze ograniczenie: ${\ Displaystyle q \ równoważnik x ^ {9/20}}$

${\ Displaystyle \ pi (x; q, a) \ równoważnik {(2+ o(1))x \ponad \varphi (q)\log(x/q^{3/8})}}$

Wynika to z Y. Motohashiego (1973). Zastosował dwuliniową strukturę w członie błędu w sicie Selberga , odkrytym przez siebie. Później ten pomysł wykorzystania struktur w błędach przesiewania rozwinął się w główną metodę analitycznej teorii liczb, dzięki H. Iwańca na sito kombinatoryczne.

Porównanie z twierdzeniem Dirichleta

Natomiast twierdzenie Dirichleta o postępach arytmetycznych daje wynik asymptotyczny, który można wyrazić w postaci

${\ Displaystyle \ pi (x; q, a) = {\ Frac {x} \varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}\right)}$

ale można to udowodnić tylko dla bardziej ograniczonego zakresu q < (log x ) ^c dla stałej c : to jest twierdzenie Siegela-Walfisza .

•   Motohashi, Yoichi (1983), Metody sitowe i teoria liczb pierwszych , Tata IFR i Springer-Verlag, ISBN 3-540-12281-8
•   Hooley, Christopher (1976), Zastosowania metod sitowych do teorii liczb , Cambridge University Press, s. 10, ISBN 0-521-20915-3
• Mikawa, H. (2001) [1994], „Twierdzenie Bruna-Titchmarsha” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1973), „Duże sito”, Mathematika , 20 (2): 119–134, doi : 10.1112/s0025579300004708 , hdl : 2027.42/152543 .