Sito Selberga
W teorii liczb sito Selberga jest techniką szacowania wielkości „przesianych zbiorów” liczb całkowitych dodatnich , które spełniają zbiór warunków wyrażonych kongruencjami . Został opracowany przez firmę Atle Selberg w latach czterdziestych XX wieku.
Opis
Z punktu widzenia teorii sit sito Selberga jest typu kombinatorycznego : to znaczy wywodzi się z ostrożnego stosowania zasady włączania-wyłączania . Selberg zastąpił powstające w tym wartości funkcji Möbiusa systemem wag, które są następnie optymalizowane pod kątem danego problemu. Wynik daje górną granicę wielkości przesianego zbioru.
Niech zbiorem dodatnich liczb i pierwszych Niech oznacza zbiór elementów podzielnych przez gdy iloczynem różnych liczb pierwszych od . Niech dalej oznaczają . Niech będzie dodatnią liczbą rzeczywistą i iloczyn liczb pierwszych w są . Celem sita jest oszacowanie
Zakładamy, że | A d | można oszacować wg
gdzie f jest funkcją multiplikatywną , a X = | | . Niech funkcja g zostanie uzyskana z f przez inwersję Möbiusa , to znaczy
gdzie μ jest funkcją Möbiusa . Umieścić
Następnie
gdzie oznacza najmniejszą wspólną wielokrotność re i . jest granicę
Aplikacje
- Bruna -Titchmarsha o liczbie liczb pierwszych w postępie arytmetycznym ;
- Liczba n ≤ x taka, że n jest względnie pierwsza do φ( n ) jest asymptotyczna do e −γ x / log log log ( x ) .
- Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Wprowadzenie do metod sitowych i ich zastosowań . Teksty studenckie London Mathematical Society. Tom. 66. Cambridge University Press. s. 113–134. ISBN 0-521-61275-6 . Zbl 1121.11063 .
- Diament, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). Metoda sita o wyższych wymiarach: z procedurami obliczania funkcji sita . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 177. Z Williamem F. Galwayem. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6 . Zbl 1207.11099 .
- Nagolenniki, George (2001). Sita w teorii liczb . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Tom. 43. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-41647-1 . Zbl 1003.11044 .
- Halberstam, Heini ; Richert, ON (1974). Metody sitowe . Monografie Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego. Tom. 4. Prasa akademicka. ISBN 0-12-318250-6 . Zbl 0298.10026 .
- Hooley, Christopher (1976). Zastosowania metod sitowych w teorii liczb . Traktaty Cambridge z matematyki. Tom. 70. Cambridge University Press. s. 7–12. ISBN 0-521-20915-3 . Zbl 0327.10044 .
- Selberg, Atle (1947). „O elementarnej metodzie w teorii liczb pierwszych”. Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim . 19 : 64–67. ISSN 0368-6302 . Zbl 0041.01903 .